Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ивановская государственная текстильная академия»

Кафедра бухгалтерского учета и аудита

Практикум по курсу «Экономико-математические модели экономических систем»

для студентов специальностей 080502 (060800)

«Экономика и управление на предприятии (по отраслям)»,

080109 (060500) «Бухгалтерский учет и аудит»

Иваново 2005

В методических указаниях изложены теоретические основы экономико-математических методов по основным разделам этого курса, подробно разобраны примеры решения типовых задач и приведены задания для работы студентов на практических занятиях и для самостоятельной домашней работы.

Практикум по курсу «Экономико-математические модели экономических систем» предназначен для студентов специальности 080502 (060800) «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)», 080109 (060500) «Бухгалтерский учет и аудит» дневной и заочной формы обучения.

Составитель М. А. Лысова

Научный редактор

Редактор

Корректор

__________________________________________________________________

Лицензия ИД №06309 от 19.11.2001. Подписано в печать

Формат 1/16 6084. Бумага писчая. Плоская печать. Усл. печ. л.

Уч.-изд. л. 2. Тираж экз. Заказ №

Редакционно – издательский отдел

Ивановской государственной текстильной академии

Участок оперативной полиграфии

153000 Г. Иваново, пр. Ф.Энгельса, 21

Тема № 1.

Построение экономико-математических моделей задач оптимального

Годового производственного планирования

В общем виде задача оптимального годового производственного планирования по критерию максимизации прибыли имеет следующий вид:

где

,

- прибыль от реализации единицы продукции вида j,

- объем производства продукции вида j,

- норма затрат ресурсов вида на производство единицы продукции вида ,

- заданные объемы ресурсов вида .

Пример 1.1. На предприятии производится два вида продукции на оборудовании, установленном в трех цехах. Известны нормы использования оборудования для производства единицы продукции в каждом цехе, количество установленного оборудования в каждом цехе, прибыль от производства единицы продукции каждого вида. Построить экономико-математическую модель задачи для определения оптимального плана производства продукции по критерию максимизации прибыли. Данные задачи сведены в таблицу:

Номер цеха	Нормы использования оборудования для производства единицы продукции, шт.		Количество установленного оборудования, шт.
	1 вида	2 вида
1	4	7	56
2	5	4	40
3	6	-	24
Прибыль на ед. продукции, руб.	3	1

Решение.

Прежде чем построить экономико-математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо с точки зрения экономики, ответить на следующие вопросы:

1. Что является искомыми величинами задачи?

2. Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (увеличиваться или уменьшаться) для достижения наилучших результатов?

3. Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе.

Только после этого можно приступать к записи математической модели.

Введем переменные (искомые величины):

- объем производства продукции 1 вида,

- объем производства продукции 2 вида.

Тогда прибыль от производства всей продукции 1^го вида составляет , а прибыль от производства всей продукции 2^го вида - . Суммируя прибыль от производства продукции 1^го и 2^го видов, получаем прибыль от производства всей продукции: .

Так как по условию задачи требуется максимизировать прибыль, то целевая функция запишется следующим образом:

.

Сформируем ограничения по количеству установленного оборудования в каждом цехе. - количество оборудования, которое используется в первом цехе для производства 1^го вида продукции, - количество оборудования, которое используется в первом цехе для производства 2^го вида продукции. Тогда - количество оборудования, которое используется для производства продукции в первом цехе.

Так как в первом цехе установлено 56 единиц оборудования, то для производства продукции обоих видов в первом цехе не может использоваться больше, чем 56 единиц оборудования. Тогда можно записать следующее ограничение:

.

Рассуждая аналогично, получаем ограничения для второго и третьего цехов. Таким образом, экономико-математическая модель задачи выглядит следующим образом:

Последнее ограничение вытекает из того, что объем производства продукции не может быть отрицательным.

Задание 1.1. На кондитерскую фабрику г. Ступино перед новым годом поступили заказы на подарочные наборы конфет трех магазинов. Возможные варианты наборов, их стоимость и оставшиеся товарные запасы приведены в таблице. Определить оптимальное количество подарочных наборов, которые фабрика может предложить магазинам и обеспечить максимальный доход от продажи.

Наименование конфет	Вес конфет в наборе, кг.			Запасы конфет, кг.
	А	Б	В
«Ромашка»	0,3	0,2	0,4	600
«Одуванчик»	0,2	0,3	0,2	700
«Василек»	0,2	0,1	0,1	500
Цена, руб.	72	62	76	-

Задание 1.2. По предписанию врача пациенту необходимо перейти на диету и за сезон употребить питательных веществ, содержащихся во фруктах в количествах не менее чем заданные нормы потребления.

Вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг. Фруктов, грамм			Нормы потребления, грамм
	Клубника	Яблоки	Смородина
Витамин A	3	2	1	30
Витамин B	1	3	4	70
Витамин C	0	0	5	40
Витамин D	1	0	1	50
Цена, руб. за 1 кг.	1,0	0,5	0,8	-

Составить экономико-математическую модель задачи по критерию минимизации затрат на покупку.

Задание 1.3. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Расходы А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.

Ингредиенты	Расход ингредиентов, т ингр./т краски		Запас, т ингр./сутки
	Краска 1-го вида	Краска 2-го вида
А	1	2	6
В	2	1	8

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Задание 1.4. Фирма выпускает три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. На рис.1.1 показана технологическая схема производства изделий.

Фонд рабочего времени ограничен следующими предельными значениями: для первой операции – 430 мин; для второй операции – 460 мин; для третьей операции – 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно.

Рис.1.1. Технологическая схема производства

Постройте математическую модель, позволяющую найти наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции.

Задание 1.5. При изготовлении изделий и используются сталь и цветные металлы, а также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство единицы изделия требуется 300 и 200 станко-часов соответственно токарного и фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов. Для производства единицы изделия требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц тех же ресурсов.

Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов. Прибыль от реализации единицы изделия составляет 6 руб. и от единицы изделия  – 16 руб.

Постройте математическую модель задачи, используя в качестве показателя эффективности прибыль и учитывая, что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.

Задание 1.6. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов и равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед. Стоимость 1 ед. продукта  – 2 руб.,  –3 руб.

Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Задание 1.7. Для реализации трех групп товаров ( ) коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально денежных ресурсов ( ). Нормы расходов ресурсов для продажи товаров приведены в таблице:

Вид ресурса	Нормы расходов ресурсов для продажи на 1 тыс. руб товарооборота			Запасы ресурсов
	3	6	4	180
	2	1	2	50
	2	3	1	40
Доход от продажи на 1 тыс. руб. товарооборота	6	5	5	-

Составить экономико-математическую модель задачи для определения максимального дохода торгового предприятия.