Тема № 6 Статистические методы планирования и управления производством
Статистические методы и модели применяются, когда параметры модели полностью или частично носят случайный характер. Для изучения связей между факторным признаком и результативным строятся уравнения парной регрессии. Например, уравнение линейной регрессии имеет вид
,
где
-
значение факторного признака;
-
значение результативного признака;
-
параметры уравнения регрессии.
Параметры в линейном уравнении регрессии определяются расчетным путем. Для этого используется специальный статистический метод наименьших квадратов (МНК). Значения параметров определяются путем решения системы нормальных уравнений:
|
(6.1) |
,где - число опытов (наблюдений).
После определения параметров оценивается теснота связи между результативным и факторным признаками, а также оценивается правильность выбранной формы уравнения регрессии. Для этого рассчитывается индекс корреляции:
|
(6.2) |
,
где
- дисперсия результативного признака
за счет всех факторов как учтенных,
так и не учтенных в уравнении регрессии
(общая дисперсия):
|
(6.3) |
,
где
- среднее значение результативного
признака;
-
дисперсия результативного признака за
счет прочих факторов (остаточная
дисперсия):
|
(6.4) |
,
где
- теоретическое значение результативного
признака.
Вычислив индекс корреляции, можно сделать следующие выводы:
если
,
то связь между признаками слабая и
форма уравнения регрессии выбрана
неправильно;если
,
то связь между признаками средняя,
форма уравнения регрессии может быть
изменена;если
,
связь между признаками сильная, форма
уравнения регрессии выбрана правильно.
Пример
6.1. Исследуется
влияние неровноты (коэффициент вариации
в процентах) по прочности пряжи
текс на обрывность в прядении. Данные
приведены в таблице:
|
Коэффициент вариации |
Число разрывов на 1000м. пряжи |
1 |
0,05 |
1,0 |
2 |
0,50 |
1,0 |
3 |
1,05 |
2,0 |
4 |
1,35 |
2,5 |
5 |
1,45 |
2,5 |
6 |
1,65 |
3,0 |
7 |
2,6 |
2,5 |
8 |
2,85 |
3,0 |
9 |
4,05 |
4,5 |
Введем
переменные
- коэффициент вариации,
- число обрывов в пересчете на 1000 м.
пряжи. Требуется составить уравнение
регрессии, предполагая, что форма связи
между признаками – линейная и оценить
тесноту связи между признаками с помощью
индекса корреляции.
Линейное уравнение регрессии имеет вид: . Вычислим параметры методом наименьших квадратов.
Для удобства все вычисления сведем в таблицу:
|
|
|
|
|
1 |
0,05 |
1,0 |
0,0025 |
0,05 |
2 |
0,50 |
1,0 |
0,25 |
0,5 |
3 |
1,05 |
2,0 |
1,1025 |
2,1 |
4 |
1,35 |
2,5 |
1,8225 |
3,375 |
5 |
1,45 |
2,5 |
2,1025 |
3,625 |
6 |
1,65 |
3,0 |
2,7225 |
4,95 |
7 |
2,6 |
2,5 |
6,76 |
6,5 |
8 |
2,85 |
3,0 |
8,1225 |
8,55 |
9 |
4,05 |
4,5 |
16,4025 |
18,225 |
|
15,55 |
22,0 |
39,2875 |
47,875 |
Тогда система нормальных уравнений будет иметь вид:
Решая
систему, получаем:
,
то есть уравнение регрессии имеет вид:
.
Оценим тесноту связи между результативным и факторным признаками (т.е. между коэффициентом вариации и обрывностью), а также правильность выбора формы уравнения регрессии с помощью индекса корреляции. Данные сведем в таблицу:
|
|
|
|
|
1 |
1,0 |
1,1095 |
0,01199 |
2,0736 |
2 |
1,0 |
1,465 |
0,216225 |
2,0736 |
3 |
2,0 |
1,8995 |
0,0101 |
0,1936 |
4 |
2,5 |
2,1365 |
0,132132 |
0,0036 |
5 |
2,5 |
2,2155 |
0,08094 |
0,0036 |
6 |
3,0 |
2,3735 |
0,392502 |
0,3136 |
7 |
2,5 |
3,124 |
0,389376 |
0,0036 |
8 |
3,0 |
3,3215 |
0,103362 |
0,3136 |
9 |
4,5 |
4,2695 |
0,05313 |
4,2436 |
|
22,0 |
21,91 |
1,389759 |
9,2224 |
,
то есть связь между признаками сильная (обрывность пряжи обусловлена неровнотой) и форма уравнения регрессии выбрана правильно (зависимость обрывности от неровноты – линейная).
Задание 6.1. На основе данных выборочных наблюдений по 10 однородным семьям, характеризующих доходы на 1 члена семьи и расходы на покупку парфюмерно-косметических товаров за месяц рассчитать параметры уравнения регрессии, характеризующие зависимость спроса от величины дохода. Предполагается, что связь между параметрами линейная. Оценить тесноту связи между результативным и факторным признаками, а также правильность выбора формы уравнения регрессии.
Доход |
100 |
110 |
115 |
120 |
120 |
125 |
130 |
135 |
140 |
150 |
Расход |
12 |
13 |
18 |
19 |
20 |
20 |
30 |
31 |
33 |
35 |
Задание 6.2. Исследуется зависимость производительности труда (количество изделий в минуту) от увеличения заработной платы рабочего (тыс. руб.). Представлены данные по десяти работникам предприятия:
Зар. Плата |
2 |
2,5 |
3 |
3 |
4 |
4,5 |
4,5 |
5 |
5 |
6 |
Производительность |
0,05 |
0,2 |
0,4 |
0,45 |
0,7 |
0,8 |
0,95 |
1 |
1,1 |
1,3 |
Рассчитать параметры уравнения регрессии, предполагая, что связь между параметрами линейная. Оценить тесноту связи между результативным и факторным признаками, а также правильность выбора формы уравнения регрессии.
Задание 6.3. На основе данных, характеризующих цены (в руб.) на некоторую категорию товаров и покупательную способность населения (расход в рублях на покупку данной категории товаров), записать уравнение регрессии, предполагая, что связь между параметрами линейная. Оценить тесноту связи между результативным и факторным признаками, а также правильность выбора формы уравнения регрессии.
Цена |
100 |
200 |
250 |
300 |
400 |
450 |
500 |
500 |
550 |
600 |
Расход |
630 |
580 |
550 |
550 |
500 |
470 |
450 |
460 |
430 |
420 |
Задание 6.4. Исследуется зависимость заработной платы рабочего (тыс. руб.) от стажа работы (лет). Данные по десяти рабочим сведены в таблицу:
Предполагая, что связь между параметрами линейная рассчитать параметры уравнения регрессии. Оценить тесноту связи между результативным и факторным признаками, а также правильность выбора формы уравнения регрессии.
Стаж |
5 |
8 |
10 |
11 |
13 |
15 |
18 |
20 |
24 |
27 |
Зар.плата |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |