Расчет дисперсии способом моментов

Этот способ расчета основан на использовании математических свойств средней арифметической величины и дисперсии. Дисперсия рассчитывается по формуле

,

где – момент первого порядка ;

– момент второго порядка ,

А – любое постоянное число ( ¹ А);

k – величина равного интервала или любое постоянное число, отличное от нуля.

Пример 11. По исходным данным примера 10 рассчитаем дисперсию методом моментов. Пусть А = 130 и k = 20.

Решение. Все предварительные расчеты представлены в таблице:

			( –130)
1	2	3	4	5	6	7
80–100	2	90	– 40	– 2	– 4	8
100–120	6	110	–20	– 1	– 6	6
120–140	4	130	0	0	0	0
140–160	8	150	20	1	8	8
160–180	4	170	40	2	8	16
Итого	24				6	38

= = = 0,25.

= = = 1,5833.

= = = 608,3.

Расчет дисперсии методом средних

Дисперсия рассчитывается по формуле ,

Пример 12. По исходным данным примера 10 рассчитать дисперсию методом средних.

Решение. Для расчета дисперсии необходимо вычислить величины

= и = .

Предварительные расчеты представлены в следующей таблице:

1	2	3	4	5
80–100	2	90	180	16 200
100–120	6	110	660	72 600
120–140	4	130	520	67 600
140–160	8	150	1 200	180 000
160–180	4	170	680	115 600
Итого	24		3 240	452 000

= 135; = 18833,3.

= 18833,3 – (135)² = 18833,3 – 18225 = 608,3.

Правило сложения дисперсий

Если изучаемая совокупность разделена на группы, то можно рассчитать:

1. Общую дисперсию исходной совокупности ( )

,

где х_i – индивидуальные значения признака (варианты) исходной совокупности;

– общая средняя величина исходной совокупности;

f_i – частоты исходной совокупности.

2. Межгрупповую дисперсию ( )

,

где – групповые средние величины;

n_j – численность единиц в j-й группе.

3. Внутригрупповые дисперсии ( )

где f_j – частоты в каждой j-й группе.

4. Среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле

.

Правило сложения дисперсий состоит в том, что общая дисперсия исходной совокупности равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий, т. е.

.

Эмпирический коэффициент детерминации ( ) показывает долю общей вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака

= .

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует влияние группировочного признака на вариацию результативного признака

.

Если = 0, то группировочный признак не влияет на результативный признак, если = 1, то результативный признак полностью зависит от группировочного признака.