3. Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис.7.6.

Рис.7.6

В положении 1 ключа через катушку течет постоянный ток и существует магнитное поле В этого тока. Если замкнуть ключ в положение 2, разомкнув 1, то через сопротивление потечет убывающий ток, поддерживаемый эдс самоиндукции. Работа тока за время dt равна dA = сам q = сам Idt. Так как

, то dA = -LIdI.

Проинтегрируем от до нуля и получим работу за время исчезновения магнитного поля

Работа идет на приращение внутренней энергии, то есть на нагревание сопротивления, проводов, катушки. Совершение работы сопровождается уменьшением магнитного поля, больше ничего не меняется, значит, работу совершает магнитное поле за счет своей энергии. Таким образом, энергия магнитного поля

Можно показать, что , где V – объем поля. Плотность энергии магнитного поля

Лекция 8

Тема: Электромагнитные колебания

Вопросы:1) Свободные колебания в контуре без активного сопротивления

2) Свободные затухающие электромагнитные колебания

3) Вынужденные электромагнитные колебания.

1. Цепь, содержащая индуктивность и емкость, называется колебательным контуром (рис.8.1). Сопротивление контура считаем пренебрежимо малым.

Рис.8.1

Если зарядить конденсатор и отключить источник, то вся энергия контура в начальный момент времени сосредоточена в электрическом поле конденсатора (рис.8.2).

t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T

Рис.8.2

В первую четверть периода растет ток разрядки конденсатора, этот ток в катушке индуктивности создает возрастающий магнитный поток. Магнитный поток пронизывает витки катушки и порождает в них ток самоиндукции, направленный против основного тока (препятствует его возрастанию). В конце первой четверти периода ток достигает максимума Im и вся энергия теперь сосредоточена в магнитном поле. Заряда в конденсаторе нет, поэтому ток во второй четверти периода уменьшается, и ток самоиндукции меняет направление – теперь он направлен в ту же сторону, что и основной ток (препятствует его уменьшению). Этот ток самоиндукции перезаряжает конденсатор и в конце второй четверти периода энергия снова в электрическом поле, а ток равен нулю. Далее процесс повторяется в обратную сторону и за период заряд на обкладках конденсатора совершит полное колебание, как и ток в катушке индуктивности.

Из закона сохранения энергии следует, что электрическое и магнитное поля совершают одинаковую работу, т.е. U = , где напряжение на конденсаторе U = q/C, а . Значит, . Подставим и разделим на L, получим

, где обозначили .

Это дифференциальное уравнение является уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре. Решение этого уравнения q = q0cos(ωt +α 0) описывает гармонические колебания заряда на обкладках конденсатора. Амплитуда заряда q0 , циклическая частота ω = 2πν, частота колебаний , период колебаний .

Напряжение на конденсаторе создается зарядом и изменяется так же:

= Umcos(ωt+α ), где Um - амплитуда напряжения.

Сила тока в контуре

где Im - амплитуда тока, α – начальная фаза. Из соотношения фаз видно, что ток опережает напряжение на конденсаторе на π/2. При нулевом напряжении ток максимальный.

Из сравнения амплитуд тока и напряжения вытекает , т.е. амплитуды связаны законом Ома, где представляет собой емкостное сопротивление цепи.

Напряжение на катушке индуктивности должно быть равно ЭДС самоиндукции и противоположно к ней направлено:

U = - = LωImcos (ωt+α ) = LωImsin (ωt+α +π/2)

Из соотношения фаз видно, что ток в катушке индуктивности отстает от напряжения на π/2. Амплитуды тока и напряжения связаны соотношением Um=Im. В этом случае XL = ωL представляет собой индуктивное сопротивление цепи.

2. Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением R (рис.8.3) и при протекании тока в проводниках выделяется джоулево тепло. Поэтому, если один раз зарядить конденсатор, то запасенная энергия расходуется на тепло и колебания затухают.

Рис.8.3

Так как источника ЭДС в цепи нет, то применяя второй закон Кирхгофа к цепи, получим UL+UR+UC = 0. После подстановки получаем

Выразим ток через заряд и разделим уравнение на L. Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

Здесь собственная частота колебательного контура, коэффициент затухания. Решение полученного уравнения (рис.8.4)

, где q0 – величина заряда в начальный момент времени, частота затухающих колебаний , т.е. .

Рис.8.4

Время затухания τ – это время, за которое заряд на обкладках конденсатора уменьшается в е = 2,7 раз. τ = 1/β, т.е. τ = 2L/R.

3. Колебания, происходящие в электрической цепи под действием внешней периодической эдс, называются вынужденными. Это действие может быть оказано через индуктивную связь двух катушек индуктивности (взаимная индукция) или непосредственным включением переменного напряжения

U = Umcosωt в колебательный контур (рис.8.5).

U

Рис.8.5

Применяя второй закон Кирхгофа к цепи, получим UL+UR+UC = Umcosωt, или . Здесь ω – частота переменного напряжения, - собственная частота колебательного контура, - коэффициент затухания.

Решение уравнения дает q = q mcos (ωt – φ), где амплитуда заряда

; .

При некоторой частоте внешнего напряжения амплитуда колебаний резко возрастает, т.е. возникает резонанс. Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти максимум функции q(ω), т.е. минимум выражения под корнем в знаменателе. Для этого продифференцируем выражение и получим

-4(ω0² – ω²) ω + 8β²ω = 0. Уравнение имеет три решения для ω: ω = 0 и . ω = 0 соответствует максимуму знаменателя, а отрицательная частота не имеет смысла, поэтому . Чем меньше β, т.е. меньше сопротивление контура, тем выше и острее максимум резонансной кривой для тока (рис.8.6).

Уравнение для тока получим, продифференцировав выражение для заряда: I = - ω q msin (ωt – φ) или I = Imcos (ωt – φ +π/2). Ток и заряд изменяются в противофазе, когда заряд на конденсаторе достигает максимума, ток в цепи равен нулю и наоборот.

ω

ωрез

Рис.8.6

Для напряжений в каждый момент времени выполняется соотношение

UL+UR+UC = Umcosωt.

Напряжение на резисторе UR = IR, UR = RImsin (ωt – φ). Ток в резисторе изменяется в одной фазе (синфазно) с напряжением.

Напряжение на конденсаторе

.

Напряжение на конденсаторе и ток также изменяются в противофазе, причем ток опережает напряжение на π/2.

Напряжение на индуктивности

В этом случае ток отстает от напряжения на π/2.

Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм. На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов. Длины векторов на диаграмме равны амплитудам колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ₁ и φ₂. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом Δφ = φ₁ – φ₂. Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов.

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи. На рис.8.7 показана векторная диаграмма для напряжений на участках рассмотренного колебательного контура (амплитуда тока обозначена I0).

Рис. 8.7 Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи

Амплитуды токов и напряжений связаны законом Ома, поэтому XL = ωL называют индуктивным сопротивлением, а - емкостным сопротивлением. Полное электрическое сопротивление последовательной RLC- цепи синусоидального тока .