3.2.2. Проблема подобия модели и объекта

В процессе моделирования важен вопрос о соотношении модели и объекта-оригинала. Теория, изучающая условия, при которых достигается взаимное соответствие между моделью и исследуемым объектом, называется теорией подобия [8; 9]. Подобие явлений означает, что данные о протекании процессов, полученные при изучении одного явления, можно распространить на все явления, подобные данному [8]. Два объекта подобны, если характеризующие их величины аналогичны в сходных точках пространства в сходные моменты времени. Подобие объектов позволяет использовать тождественный математический аппарат при построении моделей этих объектов.

В зависимости от соотношения объектов между собой различают подобие разной полноты (полное, неполное) и различных типов (физическое или прямое — при одинаковой физической природе подобных явлений, математическое или косвенное — при математическом соответствии описаний явлений), функциональное и структурное.

При функциональном и структурном подобиях соответственно делаются выводы на основании сходства результирующих функций о сходстве структур и, наоборот, на основании сходства структур — о сходстве результирующих функций. При прямом подобии переменные и параметры модели выражаются непосредственно через переменные и параметры объекта. В данном случае можно говорить о масштабных моделях. Косвенное подобие основано на сходстве математического описания объекта с ним самим.

Различные виды подобия подчиняются некоторым общим закономерностям, которые сформулированы в трех теоремах подобия [8].

Первая теорема состоит в следующем. У подобных явлений можно найти определенные сочетания параметров, называемых критериями подобия, имеющими одинаковые значения. Вторая теорема подобия гласит: всякое полное уравнение, описывающее связь между параметрами процесса и параметрами элементов системы, в которой протекает процесс, и записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерными соотношениями, составленными из входящих в уравнение параметров. Необходимо отметить, что уравнение называется полным, если оно учитывает все связи между входящими в него величинами. Две приведенные теоремы указывают на соотношения между параметрами подобных явлений. Третья теорема определяет необходимые и достаточные условия для создания подобия: пропорциональность (для линейного случая) или нелинейное соответствие (для нелинейных систем) сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления. Условиями однозначности называются условия, характеризующие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление. Эти теоремы не исчерпывают, но являются основой теории подобия.

3.2.3. Общая схема процесса моделирования

Рассмотрим схему процесса создания и использования модели, т.е. моделирования (рис. 3.2). На ней сам процесс изображен затемненными стрелками, а информация, используемая на тех или иных этапах моделирования или действия на них, — выносками. Процесс моделирования начинается с определения цели исследования, изучения реального объекта и анализа данных о нем. Исследователь на основе этой информации создает мысленный образ реального объекта.

Затем осуществляется содержательное описание объекта моделирования. Описание его функционирования на обычном языке можно рассматривать как вербальную модель, представляющую собой первую попытку изложить закономерности, свойственные объекту моделирования. Такое описание осуществляют, исходя из

Рис. 3.2. Общая схема процесса моделирования

61

уточненной постановки задачи и определения условий ее решения (временных и материальных ограничений, требований к точности решения и т.д.), имеющихся исходных данных, сформулированных гипотез о характере работы объекта моделирования, определения границ описания объекта моделирования (что войдет в модель, что будет опущено в модельном описании объекта, как будет представлена в модели среда) и степени детализации его описания. Анализ содержательного описания объекта моделирования позволяет выбрать ту или иную теоретическую схему формализации, т.е. математическую теорию, которая позволит с помощью формальных средств отобразить реальный объект в виде математических преобразований и осуществить толкование этих математических преобразований с общетеоретических позиций.

Теоретических схем формализации много (например, теория автоматов, теория систем массового обслуживания и т.п.), и правильный выбор требуемой конкретной схемы — скорее искусство, чем наука. Общие вопросы, решаемые при таком выборе, — как необходимо отображать в модели время (в виде непрерывной или меняющейся дискретно величины), каков шаг изменения времени, требуется ли учитывать в модели случайности и т.д. Таких вопросов может быть много, но ответы уже на два первых из них существенно сужают допустимое множество возможных схем формализации, осуществляется построение самой формализованной схемы описания объекта моделирования. Она представляет собой описание его работы в терминах и с помощью абстрактных элементов выбранной теоретической схемы. Формализованная схема функционирования отличается от модели отсутствием в ней реальных числовых данных, алгоритмов моделирования случайностей и т. п. Уточнение этих вопросов, а также выбор, если это необходимо, языка программирования или моделирования приводят к построению модели в виде либо системы математических уравнений, либо программы для ЭВМ.

Полученная модель подвергается оценке. Этот процесс состоит из верификации и оценки адекватности. Верификация — оценка того, что модель ведет себя так, как было задумано ее разработчиком. Адекватность — определение степени соответствия модельных результатов и реальности. В случае, если модель не удовлетворяет условиям оценки, разработчик либо возвращается к выбору схемы формализации и заново строит модель в терминах другой схемы, либо корректирует модель или ее программную реализацию.

Далее процесс моделирования связан с получением результатов. Когда модель является системой математических уравнений, речь идет о получении точного или приближенного решения аналитическими методами. Если модель представлена программой для ЭВМ, то результаты получают с помощью экспериментирования с ней, предварительно спланировав эти эксперименты. Под планированием эксперимента имеется в виду разработка процедуры варьирования значениями входных переменных с целью оценки значений выходных переменных с нужной точностью и наименьшими затратами. Полученные результаты обрабатывают и с учетом допущений, сделанных при построении модели и экспериментах с нею, пытаются использовать для прогнозирования поведения объекта моделирования и решения конкретных задач управления.

Моделирование является циклическим процессом. Это означает, что осуществив один цикл построения модели, можно, а иногда и нужно, сделать второй, затем третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте будут расширяться и уточняться, а модель объекта постепенно совершенствоваться.