3.7. Аналитическое и экспериментальное определение частотных характеристик
Комплексной частотной характеристикой (КЧХ) называется комплексная функция частоты, получаемая из передаточной функции системы (объекта) W(s) после замены s на jω. Рассчитывается по формулам
(3.12)
где А(ω) и φ(ω) – модуль и аргумент КЧХ. Они связаны с вещественной Р(ω) и мнимой Q(ω) характеристиками соотношениями
(3.13)
(3.14)
|W(jω)|=A(ω) – называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), arg{ W(jω)}=φ(ω) – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Для экспериментального определения КЧХ на вход системы (объекта) следует подать синусоидальное воздействие
(3.15)
Спустя некоторое время на выходе установятся синусоидальные колебания той же частоты, но с другой амплитудой и сдвинутые относительно входа на время Δt или по фазе на φ(ω) (см. рис. 20)
(3.16)
(3.17)
Отношение амплитуд установившихся колебаний выхода и входа
(3.18)
определяет для частоты ω одну точку АЧХ, а сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных - одну точку ФЧХ. Повторив эксперимент для других частот, можно построить графики АЧХ, ФЧХ, КЧХ.
Рис. 20. Графики входного и выходного синусоидального колебаний
КЧХ представляет собой изображение по Фурье импульсной переходной характеристики
(3.19)
Для численного вычисления КЧХ по формуле (3.19) может использоваться функция Real FFT (Real Fast Fourier Transform) (действительное быстрое прямое преобразование Фурье) [6]. Для этого на вход Х иконки этой функции необходимо подать действительный массив импульсной переходной характеристики, на вход Shift – логическое значение, определяющее необходимость сдвига постоянной составляющей в центр выходной последовательности (рекомендуется использовать значение false, т.е. без сдвига). На вход FFT Size подается длина выполняемого преобразования Фурье. Рекомендуется этот параметр задавать равным числу элементов массива Х. На выходе иконки – комплексный массив значений КЧХ и наличие ошибки в произведенных вычислениях. Элемент с номером 1 соответствует искомой первой гармонике комплексного спектра. Значения амплитудной и фазовой частотной характеристик определяется по формулам
где d – амплитуда входных колебаний прямоугольной формы, a1 и b1 – действительная и мнимая части первой гармоники комплексного спектра выходных колебаний.
Используя формулу обратного преобразования Фурье, по заданной КЧХ можно вычислить импульсную переходную характеристику
(3.20)
Численное вычисление по формуле (3.20) может быть выполнено с использованием функции Invers FFT (Invers Fast Fourier Transform) (действительное быстрое обратное преобразование Фурье) [6].
3.8. Описание имитационной модели объекта
Модель воспроизводит перетекание жидкости (воды) из вышерасположенной емкости в нижерасположенную под действием гравитационных сил. На входе и на выходе из каждой емкости установлены расходомеры переменного перепада давления со стандартными диафрагмами по ГОСТ 8.586.1, ГОСТ 8.586.2, ГОСТ 8.586.3 [7,8,9].
Управление работой модели возможно как в ручном, так и в автоматическом режимах.
В ручном режиме открытие и закрытие РО производится студентом путем нажатия и удерживания в нажатом положении кнопки «Больше» («Меньше») до тех пор, пока РО не достигнет требуемого положения.
В автоматическом режиме РО управляется от генератора синусоидальных колебаний или контроллера совместно с широтно-импульсным модулятором (ШИМ) и сервомотором постоянной скорости.
При работе от генератора синусоидальных колебаний, изменение степени открытия РО происходит автоматически по синусоиде с заданными параметрами.
Контроллер с реализованным в нем П-, И-, ПИ- или ПИД- законами в зависимости от величины и знака ошибки регулирования рассчитывает длительность регулирующего воздействия. Требуемую длительность воздействия реализует ШИМ и сервомотор.
На лицевой панели модели объекта уровни воды в ёмкостях одновременно отображаются на цифровых индикаторах уровнемеров ёмкостей, изменение уровней - на графических индикаторах. Наблюдение графиков изменения уровней и входных возмущений возможно для каждой ёмкости отдельно и одновременно в одной системе координат (см. рис. 10,11).
На притоке первой ёмкости поддерживается постоянный напор воды, чем устраняется неконтролируемое возмущение по расходу воды.
Расход воды в первую (верхнюю) емкость может плавно изменяться вручную с помощью вентиля Xпр и регулирующего клапана Xp. В автоматическом режиме текущее значение степени открытия регулирующего клапана отображается на индикаторе в процентах.
Через отверстие стока в нижней части первой ёмкости вода свободно сливается во вторую ёмкость. Сток второй ёмкости является притоком третьей ёмкости.
На притоке в первую емкость измеряются давление Рп и расходы воды Gпр и Gp расходомерами переменного перепада давления со стандартными диафрагмами. Суммарный расход воды фиксируется расходомером Gпp1. Диаметры отверстий диафрагм обозначены dстi , внутренние диаметры трубопроводов – Dстi .
Расходомеры установлены также на стоках из первой Gст1, второй Gст2 и третьей Gст3 ёмкостей. Очевидно, что расход воды на стоке из верхней ёмкости численно равен её притоку в нижнюю ёмкость.
Расходы воды на стоках из первой, второй и третьей ёмкостей могут плавно изменяться вручную с помощью вентилей Xст1, Xст2 и Xст3 , соответственно. Степени открытия вентилей Xпр - 0 … 100%, вентилей Xст1, Xст2 и Xст3 - 20 … 80% могут изменяться непосредственно мышью или путем ввода в цифровое поле числового значения с клавиатуры.
Контролируемые ступенчатые возмущения могут создаваться вентилями Xпр, Xст1, Xст2 и Xст3 . Случайное неконтролируемое возмущение по давлению воды на притоке первой ёмкости включается тумблером. В этом случае с текущим значением уровня воды в верхней ёмкости будет алгебраически суммироваться случайное число из диапазона -1 … 1 с равномерным амплитудным распределением, умноженное на масштабный коэффициент, задаваемый на панели настроек (с названием «амплитуда», кгс/см2).
Графики переходных процессов могут записываться в текстовые файлы для последующей обработки (например, в Excel). Необходимо указать путь к файлу, например,
C:\LabRab2\h(t).txt (для Windows)
или
C: LabRab2: h(t) Text file (для MacOS) .
Запись включается щелчком мыши по кнопке темно зеленого цвета с надписью «Выкл». При этом название кнопки изменяется на «Вкл», а её цвет становится красным. Для выключения записи следует щелкнуть ту же кнопку.
Если файл отсутствует, то его можно создать путем нажатия кнопки светло зеленого цвета с надписью «С/О». Эта же кнопка стирает ранее записанные в файл данные.
Внешний вид панели настроек представлен на рис. 12. Перед выполнением заданий в управляющие элементы панели настроек должны быть введены числовые значения исходных данных. Данные, общие для всех ПК, представлены в табл. 2. Индивидуальные настроечные данные выбираются по номеру рабочего места студента в лаборатории компьютерных технологий в промышленной теплоэнергетике и представлены в табл. 3.
Ввод данных рекомендуется выполнять при работающем ВП. Для этого необходимо щёлкнуть мышью панель настроек, ввести требуемые числовые значения в соответствующие элементы1 или, используя мышь, перетащить указатель потенциометра на нужное деление. Введённые настроечные данные должны оставаться постоянными во всех опытах лабораторного практикума.
Таблица 2