3. Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Нехай функція аналітична в області D, тоді розглянемо функцію – інтеграл не залежить від шляху інтегрування, який з’єднує точки z та (в силу теореми Коші).

Теорема4. Нехай визначена та неперервна у однозв’язній області D, а інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру D дорівнює нулю, тоді

(z, ) є аналітичною функцією в D та .

Доведення: див. [1, с.44].

Помітимо, що для аналітичної умови теореми виконані.

Зауваження. В умовах теореми – первісна до функції , тоді в силу теореми не важко отримати формулу типу Ньютона-Лейбніца.

У межах умов, вказаних у теремі справедлива формула

= ,

де – довільна первісна функції на області D.

Приклад1. Обчислити .

Розв’язання. Оскільки – аналітична на всій площині z, а – первісна, то

= .

Вправи

Обчислити:

1) , AB – шлях, який з’єднує точки ;

2) ;

3) – еліпс ;

4) АВ з’єднує точки 1, і;

5) – еліпс ;

6) – коло ;

7) АВ – з’єднує точки ;

8) ;

9) ;

10 , .

Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки

5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля

Теорема1. Нехай функція – аналітична в однозв’язній області D. Тоді для будь-якої точки і для будь-якого замкнутого кусково-гладкого контуру , який цілком лежить в області та містить точку всередині себе, виконується рівність ,

де інтегрування виконується у додатному напрямку замкнутого контуру .

Доведення: див. [2, с.215], [1, с.46], [3, с. 169].

Наслідок. Нехай – коло радіусу R з центром , тоді використовуючи формули Коші можна отримати теорему, яка уточнює відому теорему Вейєрштрасса у випадку аналітичної функції.

Теорема2 (принцип максимуму модуля аналітичної функції). Нехай функція , тотожно не рівна постійній, є аналітичною в області D і є неперервною в замкненій області . Тоді максимальне значення досягається тільки на границі області .

Доведення стор.220, 201 [3], 49[1].

Крім цього, має місце теорема:

Теорема3. Нехай аналітична в області та неперервна в . Тоді у внутрішніх точках області існує похідна будь-якого порядку, причому має місце наступна формула , де Г – границя області .

Доведення див. [2, с. 222-223].

Приклад. Знайти , .

Розв’язання. Розглянемо функцію , тоді інтеграл по формулі Коші ( знаходиться в середині контуру ) дорівнює .

Вправи

Обчислити

5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри

Означення1. Аналітична на всій комплексній площині функція називається цілою функцією.

Теорема4 (Ліувіля). Нехай – ціла функція, а її модуль обмежений, тоді ця функція – константа.

Доведення [3, с.173], [2, с.225].

Приклад1. - ціла функція і , отже - необмежений, тобто існує z такий, що .

Застосування теореми Ліувіля є основною теоремою алгебри:

Всякий многочлен має хоча б один нуль.

Доведення слідує з того, що якщо нулів немає, то функція

має обмежений модуль і є цілою, не буде константою. Це протиречить теоремі Ліувіля. Отже, припущення щодо відсутності нуля – невірне.

5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду

Теорема5. Функція , аналітична в середині кола розкладається в цьому колі в степеневий ряд:

.

Коефіцієнти визначаються по формулі або , де l - будь-який кусочно-гладкий замкнений контур, який повністю належить колу та знаходиться навколо точки . Ряд визначений однозначно.

Доведення теореми див. [2, с.225], [1,с.64].

Нехай аналітична в колі . Приймемо за - будь-яка окружність з центром в точці , що цілком лежить в колі , і через - максимум модуля на колі , тоді для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка

,

які носять назву нерівність Коші.

Приклад1. Розкласти в ряд для .

Розв’язання.

Вправи

Розкласти в ряд Тейлора в =0 функції: