- •Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення
- •Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
- •2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
- •2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня Рімана
- •Функція Жуковского
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалуження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної
- •Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема Коші
- •Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля
- •5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій
- •6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •6.3. Критерій полюса
- •6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •6.5. Раціональні і міроморфні функції
- •Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •7.2. Основна теорема теорії лишків
- •7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота №2 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота (заочна форма навчання)
- •Зразки розв'язування задач
- •Література
2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
Нехай задана в області .
Означення6. Функція має в точці похідну, якщо існує скінчена границя .
Означення7. Функція називається диференційованою в точці , якщо приріст функції в точці має вигляд
,
де , нескінченно мала більш високого порядку ніж .
Як і у випадку дійсної функції диференційованість в точці еквівалентна існуванню скінченої похідної функції в (див. [2]). Крім того, з диференційованості функції в точці слідує її неперервність в цій точці.
Безпосередньо із означення похідної слідує, що всі властивості похідної функції дійсної змінної виконуються і в нашому випадку.
Наприклад, якщо , тоді .
Якщо . Похідну знайдемо за означенням
, , .
тобто границя не існує, а отже не має похідної в точці .
У випадку, коли функція задана в термінах , , тобто , то диференційованість її, як умова еквівалентна існуванню похідної по , перевірити важко. В цьому випадку корисна наступна теорема.
Теорема2. Для того, щоб функція буда диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб функції , були диференційованими в точці як функції двох дійсних змінних і та виконувалися умови Коші-Римана:
, .
Доведення див. [1, с. 31] або [2, с. 85], [3, с. 33].
При цьому виконується рівність
.
Означення8. Якщо функція диференційована у всіх точках області , то називається аналітичною в .
Приклад 1. Дослідити на диференційованість .
Розв’язання. , , , , , тобто . Отже, не диференційована в .
Приклад 2.
. Знайти , якщо вона диференційована.
Розв’язання
, , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що
, .
Вправи
Показати, що функції диференційовані
.
,
,
Довести, що функції не диференційовані.
.
.
Знайти , , , при яких буде аналітичною.
Знайти аналітичну функцію .
, .
, .
.
При якому – аналітична?
2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
Нехай диференційована в точці , тоді , де , – відстані між , на площині і їх образами , на площині . Тоді – коефіцієнт розтягу вектора при відображенні площини на площину .
Геометричний зміст модуля похідної: – коефіцієнт розтягу в точці при відображенні площини на площину .
Нехай відображає площину на площину і диференційована в точці .
Розглянемо криву і образ при відображенні позначимо .
Якщо , то , – січна , – січна , – кут нахилу січної до , – кут нахилу січної до .
При січні , прямують до дотичних в точках , до кривих і відповідно, а , до кутів і між відповідними дотичними і осями , відповідно. Тоді , тобто . Звідси – кут повороту дотичної до кривої в точці площини при переході до її образу і к точці .
Приклад1. – відображає площину на площину . При цьому , тобто і , тобто при відображенні площина розтягується в раз і повертається на кут – .
Вправи
Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках
1. ;
2. ;
3. . Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1.
Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6).
4. ;
5. ;
6. ;
7. . Знайти , в яких кут повороту дорівнює нулю.