- •Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення
- •Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
- •2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
- •2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня Рімана
- •Функція Жуковского
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалуження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної
- •Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема Коші
- •Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля
- •5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій
- •6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •6.3. Критерій полюса
- •6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •6.5. Раціональні і міроморфні функції
- •Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •7.2. Основна теорема теорії лишків
- •7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота №2 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота (заочна форма навчання)
- •Зразки розв'язування задач
- •Література
Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
Комплексною функцією комплексної змінної називається функція , у якої область визначення та множина значень належать множині комплексних чисел . Ці функції також можна вважати як відображення із в .
Частіше за все ми будемо розглядати функції , у яких областю визначення є область.
- окіл – – відкритий круг радіуса з центром .
О значення1. Множина називається областю, якщо виконуються наступні умови:
кожна точка множини – внутрішня (існує - окіл точки , всі точки якого належать );
будь-які дві точки множини можна з’єднати ламаною, всі точки якої належать .
Приклад області:
Однозначна функція комплексної змінної , яка задана в області , визначається законом, який ставить кожному у відповідність одне визначене комплексне число . Символічно це записується .
Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел, то задання комплексної функції комплексної змінної еквівалентне введенню двох дійсних, тобто , , визначені в області . При цьому , а .
Наприклад, , , тобто , .
Означення2. Однозначна функція називається однолистковою функцією в області , якщо в різних точках цієї області вона приймає різні значення.
Далі ми будемо вважати, що множина – значень функції – область, тоді рівність встановлює закон відповідності між точками області площини і точками області площини . Тоді можливо встановити і обернену відповідність – кожній ставиться у відповідність одна або декілька . Це означає, що в задана (однозначна або багатозначна) функція – обернена . Відмітимо, що обернена функція до однолисткової функції – однозначна.
Наприклад, , тоді обернена функція однозначна функція.
Нехай визначена на області , а – гранична точка .
Означення3 (Коші). називається границею при , якщо таке, що і такого, що виконується нерівність
.
Означення4 (Гейне). називається границею при , якщо для будь-якої послідовності , яка збігається до , послідовність збігається до . Це записується
.
Теорема1. Нехай , гранична точка області визначення . Тоді для того, щоб необхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення
, .
Доведення див. [2, с. 60].
З цієї теореми слідує виконання всіх властивостей границі функції аналогічні властивостям границі дійсних функцій.
Розглянемо функцію , тоді нескінченно віддалена точка визначається як точка, що відповідає початку координат при цьому .
Означення5. Функція називається неперервною в точці , якщо .
Неперервність в еквівалентна неперервності , в точці .
Всі властивості неперервних функцій аналогічні властивостям неперервних функцій дійсної змінної див. [2, 3]. Якщо функція неперервна в кожній точці області , то кажуть, що вона неперервна на області .
Приклад 1.
. Знайти образ лінії .
Розв’язання.
;
при , , .
Тоді або і підставляючи в отримаємо – парабола. Таким чином пряма переходить при відображенні в параболу .
Приклад 2. Знайти .
Розв’язання. .
Вправи
|
|