- •Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення
- •Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
- •2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
- •2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня Рімана
- •Функція Жуковского
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалуження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної
- •Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема Коші
- •Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля
- •5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій
- •6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •6.3. Критерій полюса
- •6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •6.5. Раціональні і міроморфні функції
- •Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •7.2. Основна теорема теорії лишків
- •7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота №2 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота (заочна форма навчання)
- •Зразки розв'язування задач
- •Література
Контрольна робота (заочна форма навчання)
Варіант 1
Обчислити всі значення та виділити головне значення.
Перевірити умови Даламбера—Ейлера для функції і знайти .
Виходячи з означення комплексного інтеграла, обчислити , де С – півколо (початок в точці ).
Знайти радіус збіжності степеневого ряду
Знайти лишки функції відносно всіх її полюсів.
На яку область в площині функція відображає круг ? Як відображаються при цьому, зокрема, кола , (0 < < 1) і радіуси ?
Варіант 2
Знайти всі ті значення , при яких є чисто уявним числом.
Те ж саме для функції .
Те ж саме для , де С — радіус-вектор точки .
Знайти радіус збіжності степеневого ряду
Знайти лишки функції відносно всіх її полюсів.
Для функції , де , знайти образи ліній .
Варіант 3
Знайти модуль і головне значення аргументу числа .
Знайти аналітичну функцію аргументу , дійсна частина якої .
Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С— коло .
Знайти область збіжності функціонального ряду
Чому рівний інтеграл , взятий по колу ? Порівняти його з інтегралом
Знайти лінію в площині , яку описує точка, якщо точка z н z- площині рухається по відрізку прямої .
Варіант 4
Знайти модуль і головне значення аргументу числа .
Знайти аналітичну функцію аргументу , уявна частина якої є .
Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С — коло .
Написати перші чотири члени розкладу в ряд Тейлора в околі нульової точки функції і знайти радіус збіжності цього ряду.
Знайти всі особливі точки функції і обчислити лишки відносно всіх її полюсів.
На яку область перетворюється півкруг , за допомогою функції ?
Варіант 5
Знайти всі значення числа і виділити головне значения.
Чи існує аналітична функція , де , для якої ?
Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С- еліпс .
Написати перші чотири члени розкладу в ряд Тейлора в околі нульової точки функції і знайти радіус збіжності цього ряду.
Користуючись основною теоремою про лишки, обчислити інтеграл С — коло .
Знайти функцію, яка відображає конформно і взаємно однозначно круг на нижню півплощину до так, що точки переходять відповідно в точки: .
Варіант 6
Накреслити графік функції , де х — дійсна змінна.
Чи існує аналітична функція , де , для якої ?
Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл , де С- коло .
Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі нульової точки і знайти радіус збіжності цього ряду.
Користуючись основною теоремою про лишки, обчислити інтеграл , де С — коло .
Відобразити круг на півплощину так, щоб виконувались умови .
Варіант 7
Яка лінія задана рівнянням: , де t — дійсний параметр?
Довести, що функція до є аналітична на всій площині .
Користуючись інтегральною формулою Коші, обчислити інтеграл — прямокутник з вершинами в точках .
Розкласти у ряд Тейлора по степенях z функцію і визначити радіус збіжності цього ряду.
Користуючись основною теоремою про лишки, обчислити інтеграл С — коло .
З'ясувати, на що перетворюється при відображенні смуга між прямими .
Варіант 8
Яка лінія визначається рівнянням: ?
Довести, що функція ( — дійсна частина z) диференційовна лише в точці . Знайти .
Виходячи з означення комплексного інтеграла, довести, що , якщо С будь-який простий замкнутий контур, що обмежує область, площа якої дорівнює S.
Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки і вказати область, в якій цей розклад має місце.
Знайти усі особливі точки функції і визначити їх характер.
Знайти функцію, яка перетворює конформно круг в себе так, що точки –1, і, 1 переходять відповідно в точки .
Варіант 9
Розв'язати рівняння: .
Довести, що функція не має похідної в жодній точці комплексної площини z.
Обчислити , де С є замкнутий контур, який складається з верхнього півкола і відрізка осі від до .
Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки
Знайти усі особливі точки функції і визначити їх характер.
Відобразити круг на круг так, щоб точка відобразилась в точку і щоб мала місце рівність .
Варіант 10
Розв'язати рівняння: .
З'ясувати, яка частина площини z стискується і яка розтягається, якщо відображення здійснює функція .
Обчислити всі можливі значення при різних положеннях контура С, який не проходить через точки .
Розкласти у ряд Лорана функцію в околі точки .
Чи існує функція, аналітична в точці , яка набирає в точках відповідно значення: ?
З'ясувати, на що перетворюється при відображенні кут .