- •Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення
- •Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
- •2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
- •2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня Рімана
- •Функція Жуковского
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалуження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної
- •Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема Коші
- •Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля
- •5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій
- •6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •6.3. Критерій полюса
- •6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •6.5. Раціональні і міроморфні функції
- •Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •7.2. Основна теорема теорії лишків
- •7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота №2 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота (заочна форма навчання)
- •Зразки розв'язування задач
- •Література
Тригонометричні функції
Означення6. Функції , , які визначені на площині z, називаються косинусом та синусом від комплексного z.
Властивості:
– парна, - непарна функції;
, періодичні з періодом ;
, – необмежені у уявному направленні, тобто ;
всі тригонометричні формули виконуються для , ;
.
Оскільки, то достатньо розглянути функцію .
Теорема7. Функція смуги конформно відображує на площину з розрізами по променям [- ;-1] та [1; ]. Причому, якщо k – парне, то верхня півсмуга відображається у нижню півплощину та півпрямі , ( ) відображаються у нижній берег розрізів відповідно по променям [1; ], [– ;–1]; нижня півсмуга відображається у верхню півплощину , при цьому , відображається у верхній берег розрізів по променям [1; ], [- ;-1] відповідно. При k непарному внутрішність нижньої півсмуги відображається у нижню півплощину та , ( ) відображається у нижній берег розрізів по променям відповідно [– ;–1] та [1; ]; верхня півсмуга відображається на верхню півплощину та , відображається на верхній берег розрізів відповідно[– ;–1], [1; ].
Доведення тереми див. [2, с.160].
Поверхня Римана , на яку конформно відображається вся площина z, отримується з нескінченого числа площин , в кожній з яких проведено розріз по променям [1; ], [– ;–1]. Склеюючи площини по відповідним берегам розрізів[1; ], [- ;-1], отримуємо потрібну поверхню.
Приклад1. З’ясувати, у що перетворюється пряма функцією .
Розв’язання:
.
Тоді u= ,
або , .
.
Тобто відображає пряму у гіперболу .
Вправи
З’ясувати, у що перетворюється при відображенні
1)
2) ;
3) смуга ;
4) півсмуга ;
5) прямокутник ; ;
6) півсмуга ;
7) півсмуга ;
8) півсмуга ;
9) смуга ;
10) півсмуга .
Логарифмічна функція. Точка розгалуження
Означення7. Функція, обернена до функції , називається логарифмічною та позначається . Змінюючи позначення, можна записати .
З означення:
1) ;
2) крім того , тобто , значить , . Таким чином, кожному z відповідає нескінченно багато значень , тобто .
Функції називаються вітками багатозначної функції . Кожна вітка виконує конформне відображення k–го листа поверхні Римана показникової функції на відповідну смугу комплексної площини, на якій визначена показникова функція.
Нехай С – замкнута крива в площині z, яка не містить всередині себе точки z=0, тоді якщо z пробігає криву С , опише замкнуту криву у площині .
Якщо замкнута крива С містить всередині себе точку z=0, то при обході точки z кривої С її аргумент міняється з на + та значить значення при обході z навколо кривої зміниться на , тобто від вітки ми перейдемо до при обході z навколо точки z=0. Тоді z=0 називається точкою розгалуження. Такі самі дії можна провести і для точки z= .
Враховуючи взаємно-однозначність відображення віток та, те, що отримали, то вітки виконують конформні відображення.
Приклад1. Знайти .
Розв’язання = :
Вправи
Знайти значення:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) )
У що перетворюються при відображенні
6) ;
7) ;
8) ;
9) сектор , ;
10) спіраль .