- •Змістовний модуль №1. Комплексні числа та їх геометричне представлення
- •Комплексні числа. Форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами
- •1.2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд
- •Змістовний модуль №2. Похідна функції комплексної змінної
- •2.1 Функції із с в с. Границя, неперервність
- •2.2. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості
- •2.3. Геометричний зміст модуля і аргументи похідної комплексної функції
- •2.4. Означення аналітичної функції. Поняття Конформного відображення
- •Змістовний модуль №3. Елементарні аналітичні функції
- •Лінійна функція
- •Дробово-лінійна функція
- •Степенева функція. Поверхня Рімана
- •Функція Жуковского
- •Показникова функція комплексної змінної
- •Тригонометричні функції
- •Логарифмічна функція. Точка розгалуження
- •Радикал. Загальна степенева функція
- •Обернені тригонометричні функції
- •Змістовний модуль №4. Інтеграл функції комплексної змінної
- •Інтеграл від функції комплексної зміної по кусочно-гладкому контуру
- •Теорема Коші
- •Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Змістовний модуль № 5. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •5.1. Формула Коші. Принцип максимума модуля
- •5.2. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри
- •5.3. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду
- •5.4. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдиності
- •5.5. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження
- •Змістовний модуль № 6. Ізольовані особливі точки аналітичних функцій
- •6.1. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана
- •6.2. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається
- •6.3. Критерій полюса
- •6.4. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса
- •6.5. Раціональні і міроморфні функції
- •Змістовний модуль № 7. Лишки та їх застосування
- •7.1. Означення ЛишкА. Обчислення лишків
- •7.2. Основна теорема теорії лишків
- •7.3. Застосування теореми лишків до обчислення визначених інтегралів
- •Контрольні роботи Контрольна робота №1 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота №2 (денна форма навчання)
- •Контрольна робота (заочна форма навчання)
- •Зразки розв'язування задач
- •Література
Функція Жуковского
Означення4. Функція виду називається функцією Жуковського та відображає площину z на площину .
Якщо довизначити , то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки , то виконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім .
Теорема4. Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьому відображається на нижню півплощину , на верхню півплощину .
Теорема5. Функція конформно відображає область на зовнішність[-1;1] площини . При цьому відображається на верхню півплощину , , на нижню півплощину .
Доведення теореми див.[2, 130-133].
Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розриву з верхнім берегом розрізу , а верхній берег розрізу - з нижнім берегом розрізу . Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z.
Приклад1. Відобразити півколо на праву півплощину.
Розв’язання: відображає півколо на нижню півплощину . Тому відображення буде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину.
Вправи
Знайти область, у які функція Жуковського відображає:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Відобразити вказані області на верхню півплощину:
6) з розрізом по [ ;1];
7) з розрізом по [–1;0], [а;1] ;
8) з розрізами [–а;1] та [1; ), a>1;
9) з розрізом [0; ] ;
10) з розрізом [ ; i], .
Показникова функція комплексної змінної
Означення5. Функція виду
називається показниковою функцією, яка відображає розширену площину z на розширену площину .
Властивості
1) ;
2) ;
3) , тобто – період показникової функції.
Теорема6. Показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною , паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.
Наслідок. Смуга конформно відображається на площину з вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границя переходе у верхній берег розрізу, а – в нижній берег розрізу.
Доведення див. [3, с. 91].
Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізу склеїмо з верхнім берегом розрізу і т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.
Приклад1. Відобразити за допомогою функції .
Розв’язання: ( ) тоді , тобто , . Тоді та – спіраль.
Вправи
Вияснити, у що перетворюється за допомогою :
пряма ;
смуга ;
півсмуга ;
півсмуга ;
прямокутник ;
Знайти відображення, яке переводе:
смугу на площину;
смугу у праву півплощину;
смугу у ліву півплощину;
смугу у площину;
10) смугу у нижню півплощину.