9.5. Задачи

Задача 9.5. Если ось направить горизонтально, а ось вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями

,

,

где , , , – постоянные величины.

Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти наибольшую высоту подъема точки над уровнем ее начального положения, дальность по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.

Решение. На основании (9.12) имеем

,

.

При , , а модуль скорости будет

.

Направление скорости определим, найдя направляющие косинусы при :

Следовательно, начальная скорость, равная по модулю , направлена под углом к горизонту.

Так как точка траектории, где , соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения

мы определим момент времени достижения точкой наивысшей высоты. Имеем

;

отсюда

.

Подставляя найденное значение в выражение для , получим искомую высоту

.

Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время в выражение для :

.

З адача 9.6. Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен .

Решение. Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут

, .

По условию задачи

.

Следовательно,

.

Отсюда

.

Интегрируя это уравнение и приняв при угол , получим

.

Тогда , где – модуль радиуса-вектора в момент времени . Таким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.

Если угол , то траектория будет прямолинейной – движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол , то движение будет происходить по окружности, так как .

9.6. Ускорение точки

П редположим, что в момент времени скорость точки равна , а в момент времени будет . Изменение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов и , если параллельно перенесем вектор в точку .

Вектор представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени .

Отношение вектора к промежутку называется средним ускорением точки за промежуток времени :

.

Ускорением точки в данный момент времени называется предел приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.

, (9.21) так как . Можно также воспользоваться следующей формой записи .

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.

Г одографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки.

Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости равна , т.е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения

.

Единицами ускорения могут быть , .

Нахождение ускорения при координатном способе задания движения.

Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

, , .

Так как вектор скорости точки можно представить в виде

,

то на основании (9.21) будем иметь

.

Пусть , , – проекции ускорения на координатные оси ; тогда

, , , (9.22) т.е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.

Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде

, , . (9.23) Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.

Модуль ускорения определяется по формуле

. (9.24)

Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:

(9.25)

Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени

, .

Согласно (9.17) имеем

.

На основании (9.21) получим

,

но так как [см. (9.15) и (9.16)]

, ,

то

.

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

,

. (9.26)

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

,

, .

Нахождение ускорения при естественном способе задания движения.

Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке этой кривой. Возьмем теперь на кривой точку , близкую к точке , и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку , проведем плоскость через векторы и , приложенные в точке .

П ри стремлении точки к точке эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке . Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью.

Линия пересечения соприкасающейся плоскости и нормальной плоскости определяет главную нормаль к кривой в точке .

Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.

Л иния пересечения спрямляющей плоскости и нормальной плоскости определяет бинормаль к кривой.

Таким образом, в каждой точке можно указать три взаимноперпенди-кулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему координат. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника.

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке , и вектором , проведенным в точке , близкой к точке . Этот угол называется углом смежности.

Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.

. (9.27)

Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне

. (9.28)

Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса ; радиус кривизны равен радиусу окружности .

Если через точку кривой и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус круга равен радиусу кривизны кривой в точке . Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны.^*

Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде

,

где – проекция скорости на направление . На основании формулы (9.21) имеем

. (9.29)

Определим величину и направление вектора .

Пусть в момент времени точка находится в положении на траектории, а в момент времени – в положении . Перенося вектор в точку , найдем приращение вектора за промежуток времени

.

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории, а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги – в сторону выпуклости траектории.

Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через точку и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, так как при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке .

Дифференцируя тождество по , получим

,

т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ найдем

или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

.

Значит,

,

и, следовательно,

, (9.30) так как

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны

, .

Проекция ускорения на направление

(9.31)

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

(9.32)

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен

. (9.33)

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.

Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении , в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.

Отметим, что для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство

,

так как .

Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах ( , , ) будем иметь

;

для полярных координат получим

.