Глава XI
Плоское движение твердого тела
11.1. Задание движения
Движение твердого тела называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Примером плоского
движения тела может служить качение
цилиндра по горизонтальной плоскости,
при котором его основание остается все
время парпаллельным плоскости
.
Рассмотрим
произвольное плоское движение твердого
тела. Пусть все точки тела перемещаются
в плоскостях, параллельных плоскости
.
Из определения плоского движения и из
свойств твердого тела (углы между любыми
прямыми, фиксированными в твердом теле,
сохраняются неизменными) следует, что
любая прямая
,
проведенная в теле перпендикулярно
плоскости
,
будет перемещаться поступательно, т.е.
траектории, скорости и ускорения всех
точек этой прямой будут одинаковы.
Таким образом, для определения движения тела необходимо знать движениен лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости .
Взяв точки в одной
плоскости, параллельной плоскости
,
мы можем
утверждать, что плоское движение твердого
тела вполне определяется движением
плоской фигуры, полученной от пересечения
тела любой плоскостью
,
параллельной плоскости
.
Таким образом, задание движения твердого тела сводится к заданию движения одного его сечения. Поэтому вдальнейшем будем изображать только плоскую фигуру – сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости.
Пусть
и
– две точки плоской фигуры, находящейся
в плоскости
.
Так как расстояние
между этими точками остается неизменным
,
то из четырех координат независмыми
остаются только три. Присоелинение
т
ретьей
точки
не увеличивает числа независимых
координат, ибо две новые координаты
и
должны удовлетворять двум равенствам,
выражающим неизменность расстояний до
ранее выбранных точек
и
.
Таким образом, для описания плоского
движения тела требуется знать три
независимых координаты как функции
времени.
Свяжем жестко с
плоской фигурой систему координат
.
Тогда положение системы
,
а вместе с ней и положение плоской фигуры
относительно системы координат
будет вполне определено заданием
координат
и
точки
и углом между осями
и
б
– см. рис. 11.3, б
(оси
и
соответственно параллельны осям
и
и перемещаются при движении фигуры
поступательно). Следовательно, три
функции времени
,
,
(11.1) определяют положение плоской фигуры
в любой момент времени. Равенства (11.1)
называются уравнениями
движения плоской фигуры или
уравнениями
плоского движения твердого тела.
11.2. Скорости точек при плоском движении
Найдем формулы, позволяющие при заданных функциях (11.1) определить координаты любой точки плоской фигуры.
П
усть
система координат
является неподвижной системой, а система
координат
,
имеющая начало в произвольно выбранной
точке
плоской фигуры движется поступательно.
Систему координат
жестко свяжем с плоской фигурой.
Радиус-вектор
,
определяющий положение точки
относительно неподвижной системы
координат
,
можно задать при помощи двух векторов:
,
определяющего положение точки
в системе отсчета
,
и
,
определяющего положение точки
в системе отсчета
,
. (11.2)
Зная координаты
и
точки
и координаты
и
точки
в системе координат
,
а также угол
между осями
и
,
можно определить координаты
и
точки
по формулам:
(11.3)
Напомним, что координаты и – постоянные величины.
Продифференцировав по времени и , найдем проекции скорости точки на координатные оси:
(11.4) К этому же
результату можно прийти, дифференцируя
непосредственно тождество (11.2),
.
(11.5) Заметим, что
,
.
Что же касается
,
то это есть скорость точки
относительно подвижной системы координат
,
т.е. относительная скорость (см. § 10.2).
Введем для нее обозначение
:
.
Движение тела
относительно системы координат
представляет собой вращение тела вокруг
оси
,
направленной перпендикулярно плоскости
чертежа на читателя. Таким образом,
скорость
есть скорость точки
при вращении тела вокруг оси
.
Для определения этой скорости мы уже
получили формулу (§ 10.2)
,
где
– угловая скорость вращения фигуры
вокруг точки
(вокруг оси
),
которую в дальнейшем будем называть
полюсом.
Формула (11.5) принимает теперь вид
,
(11.6) т.е. скорость
какой-либо точки
плоской фигуры равна геометрической
сумме скорости полюса
и скорости тчки
при вращении плоской фигуры вокруг
полюса
.
Покажем, что угловая
скорость вращения фигуры не зависит от
выбора полюса. Пусть
и
– две какие-нибудь точки плоской фигуры.
Пусть полюсу
соответствует угловая скорость
,
а плюсу
– угловая скорость
.
Найдем скорость точки
,
приняв за полюс точку
.
Приняв теперь за полюс точку
,
найдем скорость точки
.
Сложив оба равенства, получим
.
Но вектор
перпендикулярен плоскости фигуры, и,
значит, полученное равенство может
выполняться только при
.
Таким образом, нет надобности в дальнейшем
сохранять индекс полюса в обозначении
вектора угловой скорости, т.е.
.
Формула (11.6) может быть записана теперь в виде
.
(11.7)
Если заметить,
,
где
,
,
,
то из (11.7)
после проектирования на оси координат
можно получить уже ранее выписанные
формулы (11.4).
Так как
,
то модуль скорости
,
и
бо
вектор
перпендикулярен плоскости чертежа.
Отметим, что вектор
перпендикулярен также
.
Направление вращения плоской фигуры
вокруг полюса зависит только от знака
проекции угловой скорости на ось
.
Так как
,
то при
вращение происходит против хода часовой
стренлки и при
– по ходу часовой стрелки.
Н
а
рис. 11.5, а
и б
показано, как, зная скорость точки
,
можно найти скорость точки
при
и
.
Из формулы (11.7) следует одна полезная теорема:
При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти две точки, равны между собой.
Выберем положительное направление для оси , как указано на рис. 11.6. Воспользуемся далее формулой (11.7)
.
Проектируя это равенство на направление , получим
.
Последнее слагаемое в этом отношении равно нулю, так как вектор перпендикулярен и, следовательно,
.
Задача 11.1. Определить скорость
ползуна
кривошипно-шатунного механизма,
изображенного на рис. 11.7, если
и известна угловая скорость
кривошипа
в момент времени, когда
и
взаимно перпендикулярны.
Решение. На основании доказанной теоремы
,
,
откуда
,
так как
.
Определения и теоремы этого параграфа можно использовать для графического нахождения скоростей точек плоской фигуры.