§ 14.4. Пара вращений

_{Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений относительно параллельных осей O1 z1 и O2 z2 (рис. 14.6).}

_{Пусть угловые скорости относительного (ω2) и переносного (ω1) движений равны по модулю, но противоположно направлены (ω2 = - ω1). Такая совокупность движений называется парой вра­щений.}

_{Найдем абсолютную скорость какой-либо точки М твердого тела:}

_{vM = ve + vr.}

_{В нашем случае}

_{vr = ω2 r2, ve = ω1 r1,}

_{следовательно,}

(14.8)

_{Векторы ω1 и O1 O2 не зависят от положения точки М, поэтому из (14.9) вытекает, что ско­рости всех точек тела одина­ковы. Этим свойством обла­дает только поступательное движение.}

_{Из (14.9) следует, что}

_(14.10)

_{Векторное произведение называется} Рис. 14.5. _{момен­том пары вращений. Таким образом, тело, участвующее в паре вращений, движется поступательно со скоростью, равной моменту пары вращений.}

_{Легко видеть, что совокупность п пар вращений эквивалентна}

_{одной паре, т. е. поступательному движению. Заметим, что любое мгновенно-поступательное движение можно представить как мгно­венную пару вращений.}

_{Задача 14.2. Велосипедист едет со скоростью 21 км/час, диаметр колес 700 мм, передаточное число равно трем. Определить, сколько оборотов в минуту делает педаль вокруг своей оси, если велосипед движется без свободного хода.}

_{Педаль велосипеда в результирующем движении перемещается поступа­тельно. Это поступательное движение образуется из поступательного движения вместе с велосипедом и поступательного движения педали относительно вело­сипеда (последнее движение будет поступательным потому, что велосипедист ступней своей ноги держит педаль все время параллельно поверхности дороги). Поступательное движение педали относительно велосипеда осуществляется ее вращением относительно своей оси и вращением вместе с осью вокруг оси шату­на. При таком движении педали ее угловая скорость при вращении вокруг своей оси будет равна и противоположно направлена ее угловой скорости при движении вокруг оси шатуна (пара вращений).}

_{Так как велосипед движется без свободного хода, то движение колеса велосипеда зависит от движения шатуна. Определим число оборотов криво­шипа вокруг своей оси из условия, что передаточное число равно трем. Обозначая через п число оборотов колеса, а через n1 - число оборотов криво­шипа, будем иметь}

_{Предполагая, что колесо катится по поверхности дороги без скольжения, найдем зависимость между скоростью велосипеда и числом оборотов колеса. Очевидно, это будет}

_{где r — радиус колеса. Таким образом,}

об/мин.

_{Следовательно, число оборотов шатуна равно}

об/мин.

и число оборотов п₂ педали

об/мин.

§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей

Из содержания предыдущих параграфов видно, что введенные выше простейшие кинематические элементы — угловые скорости вращения тела (или системы координат) и скорости поступатель­ных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные движения аналогичны парам сил. Как и в статике, совокупность кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или ско­рость результирующего поступательного движения) равен сумме моментов слагаемых пар.

Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе (равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями составляющих вращений и силами этим не ограничивается. Мы сей­час установим, что сложение вра­щений вокруг параллельных осей совершенно аналогично сложению параллельных сил.

Предположим, что тело вра­щается с угловой скоростью ω₂ во­круг оси O₂z₂ относительно систе­мы координат O₂x₂y₂z₂, а послед­няя вращается с угловой скоростью ω₁ вокруг оси O₁z₁ относительно системы координат O₁x₁y₁z₁, причем оси O₁z₁ и O₂z₂ параллельны (рис. 14.7).

Тогда абсолютная скорость любой точки М тела

Скорости v_r и v_e точки М распо­ложены в плоскости, перпенди­кулярной осям O₁z₁ и O₂z₂, следо­вательно, и абсолютная скорость v точки М лежит в плоскости, перпендикулярной этим осям. Так как точка М произвольна, то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем в плоскости x₁O₁y₁ мгновенный центр скоростей в случае, когда ω₁ и ω₂ направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).

Для точки Р, лежащей на прямой O₁O₂, v_r и v_е коллинеарны, но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство

или

^(14.11)

Точка Р делит отрезок O₁O₂ внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей составляющих вращений.

Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противоположные направления. Пусть Скорости v_r и v_е в этом мой O₁O₂, расположенных вне отрезка O₁O₂ (рис. 14.7, б). Найдем точку Р, в которой эти скорости равны:

или

(14.12)

Точка Р делит отрезок O₁O₂ внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку всегда можно найти, если только

В каждом из рассмотренных случаев точка Р имеет скорость, равную нулю, т.е.

^(14.13)

Найдем теперь скорость произвольной точки М:

Здесь r' — радиус-вектор точки М относительно мгновенного центра скоростей Р. Раскрывая скобки в правой части и используя равенство (14.13), получим

(14.14)

^где

Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих движений.

Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между, осями О₁z₁и О₂z₂ и модуль результирующей угловой скорости В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью и Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.