§ 14.6. Задачи

Задача 14.3. В редукторе (рис. 14.8) водило ОС делает n=720 об/мин, а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей n₂₃ = 240 об/мин. Определить радиус r₁ неподвижного колеса 1 и число оборотов вала II, если ОС = 240 мм, r₄ = 40 мм (r₄ —радиус шестерни 4).

П одвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала.

Радиус r₁ неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси MN, проходит через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На основании соотношения (14.11) можем записать:

где ω₂₃—угловая скорость шестерен 2 и 3 при их вращении вокруг оси MN, а ω — угловая скорость вала I.

Между угловой скоростью и числом оборотов в минуту существует зависимость вида

следовательно,

Абсолютная угловая скорость ω_а шестерен 2 и 3 при вращении вокруг мгновенной оси на основании (14.14) равна

ω_a= ω+ ω₂₃

Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим

n_a= n + n₂₃ = 720 + 240 = 960 об/мин.

Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала II, воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3 и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного проскальзывания):

Т аким образом,

Задача 14.4. Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал I редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал II совершал n₄=1800 об/мин?

Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано: r₁=150 мм, r₂ = 30 мм, r₄ = 50 мм.

Подвижные шестерни 2 и 3 как одно целое совершают сложное движение. Они вращаются вокруг оси MN относительно поводка и вместе с ней вращаются вокруг оси I.

Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через точку В — точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни I. Эта ось параллельна оси MN. Так как мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3 лежит вне осей слагаемых движений, то вращение этих шестерен вокруг оси MN происходит в сторону, противоположную направлению вращения вала I.

На основании формул (14.12) и (14.14) имеем

и

ω_a= ω₂₃ – ω₁

где (ω₂₃— угловая скорость вращения шестерен 2 и 3 вокруг оси MN, (ω_a—абсолютная угловая скорость этих шестерен.

Из полученных соотношений следует

Скорости точек зацепления шестерен 3 и 4 равны, т. е. ω_a (r₁ — r₄) = ω₄r₄ Отсюда следует:

или

Вал II вращается в ту же сторону, что и вал I.

§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений

Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай сложного движения: тело Р движется поступательно с постоянной скоростью v₀ относительно системы координат O₂x₂у₂z₂, а она в свою очередь вращается вокруг оси z₁ неподвижной системы координат O₁x₁y₁z₁ с постоянной угловой скоростью ω параллельной скорости v₀ поступательного движения. Найдем абсолютную скорость некоторой точки М тела (рис. 14.10):

Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разложена на две составляющие: одну v₀, параллельную оси z₂, и другую v_e = ω × r, перпендикулярную плоскости, проходящей через ось z₁ и точку М.

Отсюда следует, что точка М движется по боковой поверхности кругового цилиндра с осью z₁. Касательная к винтовой траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, угол α, причем

где R — радиус цилиндра (см. рис. 14.10).

Время Т одного оборота тела в винтовом движении

Любая точка тела переместится за это время параллельно оси на расстояние, равное

называемое шагом винта. Величина р = называется параметром винта.

Рассмотренное сложное движение тела называется кинематическим винтом.

Если скорость v₀ и угловая скорость ω переменны, то движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно, что параметр винта в общем случае также будет переменным.

В торой случай. Скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Согласно § 14.3 мгновенное поступательное движение можно рассматривать как сложное движение — пару вращений. При этом момент пары вращений должен быть равен скорости данного поступательного движения. Плоскость пары вращений должна быть перпендикулярна v₀ —проведем ее через ось z₁ (рис. 14.11). Поступательное движение со скоростью v₀ относительно системы координат O₂x₂у₂z₂ можно заменить вращением тела с угловой скоростью ω" относительно некоторой новой системы и вращением этой новой системы относительно системы координат O₂x₂у₂z₂ с угловой скоростью ω' = − ω". Для упрощения чертежа плоскость у₂O₂z₂ проведена перпендикулярно v₀ через ось z₁. Пусть одно из вращений, составляющих пару, имеет угловую скорость

ω' = − ω и происходит вокруг оси, совпадающей с гг; тогда другое вращение имеет угловую скорость ω" = ω и происходит вокруг параллельной оси, проходящей через точку O₃. Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению тела достаточно, чтобы было выполнено условие

Если (см. рис. 14.11), то отсюда следует, что

Таким образом, совокупность поступательного и вращательного движений нами приведена к трем вращениям (ω", ω', ω), при этом два последних вращения (ω',ω) эквивалентны покою, так как угловые скорости ω' и ω равны по модулю и н аправлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку O₃, с угловой скоростью, равной угловой скорости заданного вращения.

Третий случай. Скорость поступательного движения v₀ направлена под углом φ

к угловой скорости ω вращательного движения (рис. 14.12). Этот случай легко приводится к первому. В самом деле, поступательное ставить как совокупность двух поступательных движений со скоростями v₁ и v₂, причем (рис. 14.12) и v₁+v₂ = v₀.

Поступательное движение со скоростью v₂ (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений (ω', ω"). Получилась система четырех движений (v₁, ω", ω', ω); при этом два последних движения (ω',ω) эквивалентны покою, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение (v₁, ω").

Если скорости v₀, ω постоянны, то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси z₁ на расстоянии

Шаг винта равен