9.7. Частные случаи движения точки
Прямолинейное движение. Если траектория точки является прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, например, ось вдоль этой прямой, мы полностью определим положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т.е. .
Проекции скорости и ускорения на ось согласно формулам (9.12) и (9.23) будут
,
.
Модули скорости и ускорения соответственно равны
,
.
Если
,
то движение точки происходит в сторону
положительного направления оси
.
Если при этом
,
то движение ускоренное, если же
,
то движение замедленное.
При
точка движется в направлении,
противоположном положительному
направлению оси
.
Если при этом
,
то движение замедленное, если же
,
то движение ускоренное.
В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение, происходящее по закону
,
где
,
,
– постоянные величины.
Движение точки по такому называют гармоническим.
Величина
,
равная максимальному отклонению точки
от положения
,
называется амплитудой
колебаний;
называется фазой и
– начальной
фазой
колебаний.
Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание, соответственно будут
,
.
Из формулы для
следует, что ускорение точки всегда
будет направлено к началу координат и
по модулю пропорционально отклонению
точки от начала координат.
С помощью закона
движения и формулы для скорости нетрудно
установить, что если для какого-либо
момента времени
координата
,
а скорость
,
то в момент времени
,
при котором
,
где
скорость точки и ее положение будут
такими же, как и в момент
.
Значит, гармоническое движение будет периодическим, т.е. через промежутки времени, равные
,
движение будет полностью повторяться.
Наименьший промежуток времени, по истечении которого движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно, что период гармонических колебаний будет равен
.
Число колебаний
в единицу времени называется частотой
колебаний
и равно
.
Если время измеряется в секундах, то
частота измеряется в герцах. Величина
называется круговой
частотой.
Круговая частота равна числу колебаний
за
единиц времени.
Движение точки
по окружности. При
движении точки по окружности удобно
задать ее движение в полярных координатах,
так как при этом координата
является постоянной величиной, равной
радиусу
окружности. Положение точки вполне
определяется углом
.
Так как
– величина постоянная, то проекция
скорости на радиальное направление
.
Поперечная проекция скорости равна
.
Модуль скорости будет
,
где
.
В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на радиальное и поперечное направления определяются равенствами
,
.
Модуль ускорения равен
,
где
.
Если выбрать
направление положительного отсчета
дуги, проходимой точкой, как указано на
рисунке, то очевидно, что касательное
ускорение точки будет равно
,
а нормальное
(это ускорение называют центростремительным
ускорением).
Заметим, что определяет угловую скорость вращения радиуса , а – соответствующее угловое ускорение.