Глава XIII

Сложное движение точки

13.1. Основные определения. Абсолютная

и относительная производные от вектора

В главе 9 мы изучали основные характеристики движения точки по отношению к заданной системе отсчета (системе координат). Однако в некоторых случаях бывает целесообразно изучать движение точки одновременно по отношению к двум системам координат, одна из которых совершает заданное движение по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную систему. Случай, когда подвижная система координат совершала поступательное движение, был нами частично рассмотрен в 10.2 (приведено доказательство теоремы о сложении скоростей).

В этой главе рассматривается общий случай, когда движение подвижной системы координат может происходить по любому заданному закону.

Изучение движения точки по отношению к каждой из этих систем координат производится методами, изложенными в главе 9. Нашей задачей является установление связей между основными характеристиками этих движений.

Будем называть сложным или "абсолютным" движением точки ее движение по отношению к системе координат, выбранной за основную. Движение точки по отношению к подвижной системе координат будем называть относительным.

Под переносным движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.

Установление связи между сложным, относительным и переносным движениями позволят решать разнообразные задачи по определению кинематических характеристик сложного и составляющих движений.

В этой главе мы встретимся с необходимостью дифференцирования вектора, определенного в системе координат, которая может двигаться произвольным образом. В связи с этим мы введем понятия абсолютной и относительной производных вектора.

Пусть заданы основная система координат и подвижная система координат, которая совершает произвольное движение. Пусть какой-либо вектор определен в подвижной системе координат, т.е. проекции этого вектора на оси подвижной системы – заданные функции времени. Если , , – единичные векторы подвижной системы координат, то вектор может быть представлен в виде

. (13.1)

Установим теперь правило нахождения производной в неподвижной системе координат (абсолютной производной) от этого вектора.

Дифференцируя обе части равенства (13.1) по времени, будем иметь в виду, что векторы , и вследствие движения подвижной системы координат меняют свое направление, т.е. являются функциями времени.

Таким образом, абсолютная производная вектора по времени будет

. (13.2) Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную от вектора в подвижной системе координат. В самом деле, если бы мы поставили задачей изучить изменение вектора только поотношению к подвижной системе координат, то мы учитывали бы при этом только изменение проекций вектора на оси этой системы координат. Движение же самой системы нас бы не интересовало.

Назовем сумму первых трех слагаемых в (13.2) относительной или локальной производной и обозначим ее через , т.е.

. (13.3) Заменяя в формулах (9.11) и (12.10) радиус-вектор последовательно на , и ; получим

, , .

Поэтому сумма последних трех слагаемых

может быть представлена в виде

, (13.4) где – угловая скорость подвижной системы координат.

Следовательно,

. (13.5)

Таким образом, абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной этого вектора и векторного произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор.