![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава IX
- •9.1. Введение
- •9.2. Способы задания движения
- •9.3. Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
- •9.4. Скорость точки
- •9.5. Задачи
- •9.6. Ускорение точки
- •9.7. Частные случаи движения точки
- •9.8. Задачи
- •9.9. Криволинейные координаты
- •Глава X
- •10.1. Задание движения твердого тела.
- •10.2. Простейшие движения твердого тела.
- •Глава XI
- •11.1. Задание движения
- •11.2. Скорости точек при плоском движении
- •11.4. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •11.5. Ускорения точек при плоском движении.
- •11.7. Задачи
- •Глава XII
- •§ 12.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •§ 12.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего
- •Глава XIII
- •13.1. Основные определения. Абсолютная
- •13.2. Теорема о сложении скоростей
- •13.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •Глава XIV
- •14.1. Постановка задачи
- •§ 14.2. Сложение поступательных движений
- •§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •§ 14.4. Пара вращений
- •§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •§ 14.6. Задачи
- •§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •§ 14.8. Общий случай сложения движений твердого тела
§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
Пусть
тело Р
вращается
в системе координат Ox2y2z2
вокруг оси
z2
с угловой скоростью ω2,
а система координат Ox2y2z2
вращается
вокруг оси z1
неподвижной
системы с угловой скоростью ω1
(рис. 14.2).
Точка О
остается
неподвижной, поэтому результирующее
движение тела будет сферическим.
Обозначим через Ω угловую скорость
этого движения. Наша задача состоит в
том, чтобы найти угловую скорость
абсолютного движения тела, зная
угловые скорости ω
1 и ω2
составляющих
вращений.
Найдем абсолютную скорость произвольной точки М тела. Для этого в формулу (14.1) следует подставить
vr
= ω2
r,
ve
= ω1
r,
где r —радиус-вектор точки М; тогда
vM = ω1 r+ ω2 r =( ω1+ ω2) r
С другой стороны, скорость той же точки М в абсолютном движении будет равна
vM = Ω r
Сравнивая оба равенства, получим
Ω r = (ω1+ ω2) r
Так как точка М, а следовательно, и ее радиус-вектор r Рис. 14.1. произвольны, то
Ω= ω1+ ω2 (14.3)
Из формулы (14.3) следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
Замечание. В случае ω1 = ω2 из (14.3) следует, что vM=0. Следовательно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходящих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно присоединять к любому сложному движению тела.
Совокупность п вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью
Полученное правило сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку О, через углы Эйлера и их производные.
Н
апомним
(§ 12.1), что положение подвижной системы
координат Oxyz,
жестко
связанной с телом, полностью определяется
относительно неподвижной системы
координат Ox1y1z1
углами
Эйлера (рис. 14.3). Тело участвует в трех
вращениях: первое вращение, соответствующее
изменению угла прецессии ψ,
происходит вокруг неподвижной оси
Oz1
с угловой
скоростью ψк1,
второе вращение, соответствующее
изменению угла нутации θ, происходит
вокруг линии узлов ОК
с угловой
скоростью θi',
где i'
— единичный вектор линии узлов;
наконец, третье вращение,
соответствующее изменению угла собственного вращения φ, происходит вокруг оси Oz с угловой скоростью ψк. Следовательно, абсолютная угловая скорость ω тела будет
ω=
k1+
i'+
k
Составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов k1, i' и k в системе подвижных осей Oxyz:
|
X |
У |
Z |
k1
i'
k |
sin θ sin φ
COS φ
0 |
sin θ cos φ
— sin φ
0 |
cos θ
0
l |
Поясним составление
первой строки этой таблицы (вторая и
третья строки непосредственно следуют
из рис. 14.3, а).
Разложим
единичный вектор k1
на две взаимно перпендикулярные
составляющие, направив одну из них
по оси z
(она равна
cos
θ
k
, см. рис.
14.3,б); тогда вторая составляющая, равная
sin
θ
j',
где j'
- единичный вектор вспомогательной оси
η, будет
находиться в плоскости ху.
Следовательно,
k1
=
cos θ
k
+ sin θ
j'
Вспомогательная
ось η
составляет с осями х и у углы
и
.
Проектируя единичный
вектор
на оси
,
и
получим (напомним, что проекции единичных
векторов равны соответствующим
направляющим косинусам):
cos (k1, x) = sin θ sin φ, cos (k1, у) = sin θ cos φ, cos (k1, z) = cos θ.
Эти выражения и составляют первую строку таблицы направляющих косинусов.
Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси х, у, z и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:
ω
x
=
sin θ
sin
φ
+
cos φ
ωy
=
sin θ
cos φ
+
sin
φ
(14.6)
ωz
=
cos
φ +
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.
Модуль угловой скорости определяется равенством
Таблица направляющих косинусов между единичными векторами k1, i' и k в системе неподвижных осей Ох1 y1 z1 имеет вид
|
x1 |
y1 |
z1 |
k1 i' k |
0 cos ψ sin θ sin ψ |
0 sin ψ - sin θ sin ψ |
1 0 cos θ |
Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили вектор k на две составляющие, направив одну из них по оси z1 (она равна cos θ k1; см. рис. 14.4); тогда вторая, равная sin θ j", где j" - единичный вектор новой вспомогательной оси η, будет находиться в плоскости Ох1у1:
k1
=
cos θ
k1
+ sin θ
j''
ω x1 = cos ψ + sin θ sin ψ
ωy1 = sin ψ - sin θ sin ψ (14.8)
ωz1 = ψ + cos θ
Кинематические
уравнения Эйлера (14.6) и (14.8) устанавливают
связь между проекциями вектора угловой
скорости ω на соответствующие оси,
углами Эйлера ψ,
θ и φ и их первыми производными по
времени.
Задача 14.1. Планетарный редуктор с коническими шестернями передает вращение вала I на вал II (рис. 14.5). Определить число оборотов в минуту вала II и число оборотов в минуту в абсолютном и относительном вращении сателлитов, если дано: r1 = 80 мм, r2 = 80 мм, r3 = 60 мм и n = 600 об/мин.
Подвижная шестерня 3 вращается вокруг своей оси ОB и вместе с этой осью вращается вокруг оси ОА; мгновенная ось абсолютного движения Рис. 14.5. шестерни 3 проходит через точку пересечения осей слагаемых вращений, т. е. через точку О и точку С (так как шестерня I неподвижна). Для определения числа оборотов абсолютного движения шестерни 3 и числа оборотов при относительном вращении ее вокруг своей оси воспользуемся формулой (14.3), которая в рассматриваемом случае принимает вид
ωa= ω+ ω3
где ωa — абсолютная угловая скорость шестерни 3, ω — угловая скорость вала I, ω3 — относительная угловая скорость шестерни 3.
Из рассмотрения подобных треугольников Оаb и СВО (см. рис. 14.5) следует
или
где n3 - число оборотов в минуту шестерни 3 в относительном движении, а n - число оборотов в минуту вала I. Отсюда имеем
об/мин.
Абсолютная угловая скорость шестерни 3 равна
причем через па обозначено число оборотов в минуту шестерни 3 в абсолютном движении.
В точке D происходит зацепление шестерен 2 и 3, поэтому скорости точек шестерен 2 и 3, совпадающих с точкой D, равны между собой.
Скорость точки В шестерни 3 равна
и, следовательно,
Но скорость точки D шестерни 2 равна
Таким образом, учитывая, что r1 = r2 получим
об/мин.