![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава IX
- •9.1. Введение
- •9.2. Способы задания движения
- •9.3. Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
- •9.4. Скорость точки
- •9.5. Задачи
- •9.6. Ускорение точки
- •9.7. Частные случаи движения точки
- •9.8. Задачи
- •9.9. Криволинейные координаты
- •Глава X
- •10.1. Задание движения твердого тела.
- •10.2. Простейшие движения твердого тела.
- •Глава XI
- •11.1. Задание движения
- •11.2. Скорости точек при плоском движении
- •11.4. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •11.5. Ускорения точек при плоском движении.
- •11.7. Задачи
- •Глава XII
- •§ 12.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •§ 12.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего
- •Глава XIII
- •13.1. Основные определения. Абсолютная
- •13.2. Теорема о сложении скоростей
- •13.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •Глава XIV
- •14.1. Постановка задачи
- •§ 14.2. Сложение поступательных движений
- •§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •§ 14.4. Пара вращений
- •§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •§ 14.6. Задачи
- •§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •§ 14.8. Общий случай сложения движений твердого тела
9.9. Криволинейные координаты
Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно однозначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты , и точки, в цилиндрической и сферической системе координат такими числами будут соответственно , , и , , . Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен закон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этом параграфе мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты.
Предположим, что
для однозначного определения положения
любой точки нами установлен закон выбора
трех чисел
,
тем самым нами введена в рассмотрение
определенная система координат. Эти
числа
называются криволинейными
координатами,
а введенная система
координат – криволинейной.
Пусть радиус-вектор, определяющий
положение точки
,
заданной координатами
,
проведен из произвольно выбранного
полюса
.
Этот радиус-вектор будет функцией
координат
:
.
(9.38)
Проекции радиуса-вектора на оси декартовой системы координат также будут функциями , т.е.
(9.39)
Возьмем какую-либо
точку
с координатами
;
тогда уравнения
В
которых переменной является только
одна координата
,
определяет кривую, проходящую через
точку
.
Эту кривую называют координатной
линией,
соответствующей изменению координаты
.
Аналогично определяются координатные
линии, соответствующие изменению
и
.
Касательные к
координатным линиям, проведенные в
точке
в сторону возрастания соответствующих
координат, называются координатными
осями
.
Координатными
поверхностями называются
поверхности, определяемые уравнениями
(9.39) при изменении двух координат и при
одной фиксированной координате. Так,
например, поверхность
определяется следующими уравнениями:
Касательные плоскости, проведенные в точке к координатным поверхностям, называются координатными плоскостями.
О
пределим
теперь единичные векторы
координатных осей. Рассмотрим движение
точки по координатной линии, соответствующей
изменению координаты
.
Пусть в момент времени
точка находится в положении
.
Вектор
,
вычисленный в точке
,
направлен по касательной к координатной
линии
,
т.е. он направлен по координатной оси
в сторону
.
Так как
,
то
.
(9.40) Таким образом, единичные
вектор
равен
.
(9.41)
Аналогично можно получить
,
(9.42)
,
(9.43) где
,
.
(9.44)
Коэффициенты
называются коэффициентами
Ламе.
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, т.е. такие, у которых координатные оси взаимно перпендикулярны. Условием ортогональности является
.
(9.45)
Скорость точки может быть найдена посредством дифференцирования соотношения (9.38)
,
(9.46) но так как
,
,
,
то
.
(9.47) Учитывая, что
по предположению взаимно перпендикулярны,
для модуля скорости имеем
.
(9.48) Проекции скорости на координатные
оси определяются выражениями
,
,
.
(9.49)
Проекция ускорения на координатную ось , очевидно, будет равна
;
отсюда
.
(9.50) Взяв
частную производную от выражения (9.46)
по
,
получим
.
(9.51) Так как производная
зависит от координат
,
то
.
Дифференцируя теперь обе части равенства (9.46) по , получим
.
Сравнивая оба выражения, найдем
.
(9.52)
Подставляя полученные равенства (9.51) и (9.52) в формулу (9.50), имеем
.
Так как
,
то
.
Аналогично
.
Теперь выражение
для
можно
записать в следующей форме:
,
(9.53) где
находится по формуле (9.48). Аналогично
получаем
,
(9.54)
.
(9.55)
Задачи
Задача 9.12. Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе координат , , . Координатные линии и координатные оси показаны на рис.
Решение. Так как
,
,
,
то, согласно формулам (9.40) и (9.44)
,
,
.
Следовательно, в соответствии с формулами (9.48) и (9.49), получим
,
,
(9.56)
и
.
Для полярной системы координат
,
,
.
Имея в виду, что
,
найдем
,
,
,
,
,
.
Таким образом, по формулам (9.53), (9.54) и (9.55) получаем
(9.57)
Для полярной системы координат
,
.
Задача 9.13. Найти скорость и ускорение точки в сферической системе координат , , .
Решение. Декартовы координаты связаны со сферическими зависимостями
,
,
.
Так как
,
,
,
то согласно формуле (9.40) имеем
.
Вычисляя далее
,
,
,
,
,
и используя формулы (9.44), получим
,
.
Следовательно, проекции скорости на координатные оси сферической системы координат равны
,
,
(9.58)
и
.
Вычислив производные
,
,
,
,
,
,
найдем проекции ускорения на оси сферических координат:
(9.59)
Задача 9.14. Найти скорость и ускорение точки, движущейся равномерно по винтовой линии.
Решение. Так как в этом случае в цилиндрической системе координат
,
,
(
,
),
то в силу формул (9.56) имеем
,
,
и, следовательно,
.
Используя формулы (9.57),получим
,
,
.
Так как
,
то
и
.
Радиус кривизны
.
Задача 9.15. Точка движется по земной
поверхности (принимаемой за сферу
радиуса
),
имея северную и восточную составляющие
скорости соответственно равными
и
.
Найти ускорение точки относительно
Земли, не учитывая ее вращения. Составляющие
и
считать известными функциями времени.
Решение. Из условия задачи находим
,
,
.
В соответствии с формулами (9.55) получим
,
,
.