Теоретические сведения

1. Кинематика

1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.

В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.

Материальная точка - тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело - это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.

Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.

Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.

Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.

Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.

1.2. Определения кинематических величин Положение и перемещение материальной точки

При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r(t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x(t), y(t), z(t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s(t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.

Вектор перемещения r = r(t+t)-r(t). Перемещения по осям координат x = x(t+t) - x(t), y = y(t+t) - y(t), могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты s = s(t+t) - s(t).

Скорость

Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: . При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости , , . Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: .

Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив t  0, получаем:

,

т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:

, .

Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении . При естественном способе описания мгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:

.

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.