3.2. Определения физических величин Работа

Пусть частица под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. В общем случае сила F в процессе движения может изменяться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим элементарное (бесконечно малое) перемещение dr, в пределах которого силу F можно считать постоянной.

Действие силы F на перемещении dr характеризуется величиной

,

которую называют элементарной работой силы F на перемещении dr. Здесь  - угол между направлениями силы и перемещением, F_s - проекция силы на направление перемещения.

Работу силы на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, интегрируя (суммируя) элементарные работы вдоль траектории от точки 1 до точки 2:

.

В случае постоянной силы последнее выражение примет вид:

.

Эти выражения применимы как для материальной точки, так и поступательного движения твердого тела.

Работа при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы M_z относительно оси z совершается работа

.

Полная работа при повороте на угол  равна

.

При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:

.

Энергия

Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.

Импульс и момент импульса

Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:

.

Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, определяющего положение частицы, и ее импульса p:

.

Модуль этого вектора равен:

.

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости .

Таблица 6

Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для различных моделей объектов и движений

Идеальная	Физические величины
модель	Кинетическая энергия	Импульс	Момент импульса	Работа
Материальная точка или твердое тело, движущееся поступательно. m - масса, v - скорость.			,	. При
Твердое тело вращается с угловой скоростью . J - момент инерции, vc - скорость движения центра масс.				. При
Твердое тело совершает сложное плоское движение. Jñ- момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, vc - скорость движения центра масс.  - угловая скорость.

Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как

.

Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.

3.2. Формулировки законов

Теорема о кинетической энергии

Приращение кинетической энергии частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.

Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:

. (1)

Закон изменения механической энергии

Приращение полной механической энергии системы тел равно алгебраической сумме работ, которую совершают все внешние непотенциальные силы и внутренние диссипативные силы, действующих на все тела системы:

. (2)

Закон сохранения механической энергии

Если в выражении (2) правая часть обращается в нуль, то закон изменения механической энергии превращается в закон сохранения механической энергии:

. (3)

В частности, в инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы тел при отсутствии диссипативных сил сохраняется в процессе движения.

Закон изменения импульса

Приращение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

. (4)

Если внешние силы не зависят от времени, выражение (4) принимает вид:

.

Закон сохранения импульса

Если правая часть в выражении (4) обращается в нуль, то закон изменения импульса превращается в закон сохранения, а именно:

. (5)

Чаще всего он применяется для двух взаимодействующих тел и записывается в векторном виде:

Здесь v₁ и v₂ - скорости тел в состоянии I, u₁ и u₂ - скорости тел в состоянии II.

Сформулируем те условия, при выполнении которых можно применять закон сохранения импульса.

1) Система замкнута, т.е. , следовательно,

2) Система замкнута в некотором направлении, которое можно связать с осью x, т.е. ; , . В этом случае, учитывая векторный характер величин, имеем:

.

3) Промежуток времени между состояниями I и II настолько мал (удар, взрыв), что внешние силы не могут заметно повлиять на скорости тел, т.е. при t  0

.

Закон изменения момента импульса

Приращение момента импульса системы тел равно импульсу суммарного момента всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

. (6)

Когда рассматривается движение вокруг неподвижной оси, то этот закон записывается в проекции на направление оси вращения (ось z):

.

Закон сохранения момента импульса

Если правая часть в выражении (6) обращается в нуль, то закон изменения момента импульса превращается в закон сохранения, а именно:

. (7)

Это возможно в следующих случаях.

1) Момент внешних сил, действующих на все тела системы, равен нулю.

2. При малости промежутка времени между состояниями I и II (удар, взрыв), т.е. при t  0.

3.3. Удар

Абсолютно упругий удар.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические, виды энергии.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Потенциальная энергия каждого тела в состояниях до и после удара одинакова, перераспределяется только кинетическая энергия. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в виде:

Типичным примером абсолютно упругого удара является удар шаров при игре в бильярд.