47Деформация твердых тел. Закон Гука. Модуль Юнга.

Виды деформаций

Деформацией называют изменение формы, размеров или объема тела. Деформация может быть вызвана действием на тело приложенных к нему внешних сил.

Деформации, полностью исчезающие после прекращения действия на тело внешних сил, называют упругими, а деформации, сохраняющиеся и после того, как внешние силы перестали действовать на тело, - пластическими.

Различают деформации растяжения или сжатия (одностороннего или всестороннего), изгиба, кручения и сдвига.

Закон Гука

Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид

F=-kx, (1)

где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м).

Модуль Юнга (модуль упругости, англ. Young modulus, modulus of elasticity) — коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле - как функционал среды и процесса.

Третья тема

1. Закон Кулона. Электрическое поле. Принцип суперпозиции.

Ещё в глубокой древности было известно, что янтарь, потёртый о шерсть, приобретает способность притягивать лёгкие предметы. Позже было установлено, что таким же свойством обладают многие другие вещества. На поверхности тел в таком состоянии имеются электрические заряды, а сами тела называются заряженными. Раньше такие предметы называли наэлектризованными.

В природе существуют только два вида зарядов – положительные и отрицательные. Заряды одного знака (одноимённые заряды) отталкиваются, заряды разных знаков (разноимённые заряды) притягиваются. Наименьшим (элементарным) зарядом обладают элементарные частицы. Например, протон заряжен положительно, электрон – отрицательно. Элементарный отрицательный заряд равен по величине элементарному положительному заряду. В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл). Величина элементарного заряда

e =1,6∙ Кл.

В природе нигде и никогда не возникает и не исчезает электрический заряд одного знака. Появление положительного электрического заряда  +q всегда сопровождается появлением равного по абсолютной величине отрицательного электрического заряда

-q. Ни положительный, ни отрицательный заряды не могут исчезнуть по отдельности один от другого, они могут лишь взаимно нейтрализовать друг друга, если равны по абсолютной величине. Этот экспериментально установленный факт называется законом сохранения электрического заряда, который формулируется следующим образом: в электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов остаётся постоянной:

const.        (1.1)

Изолированной называется система, не обменивающаяся зарядами с внешней средой.

В 1785 г. Шарль Кулон (1736-1806) экспериментально установил закон взаимодействия двух точечных зарядов, т.е. таких заряженных тел, размерами которых в данной задаче можно пренебречь. Этот закон гласит: сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена по линии, соединяющей эти заряды. Для вакуума этот закон имеет вид

                                    ,                 (1.2)

где  Кл²/Н·м² (Ф/м) – электрическая постоянная. В диэлектрике сила взаимодействия двух точечных зарядов

                                    ,               (1.3)

Где   - диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Она показывает во сколько раз сила кулоновского взаимодействия в диэлектрике меньше, чем в вакууме. Взаимодействие между зарядами на расстоянии осуществляется через электрическое поле.

Электрическое поле – это одна из форм материи. Оно обладает свойством действовать на внесённые в него заряды с некоторой силой. Электрическое поле является составной частью электромагнитного поля. Поле, окружающее неподвижные заряды, называется электростатическим.

Представление об электрическом поле было введено в науку в 30-х годах ХIХ века Майклом Фарадеем (1791-1867). Согласно Фарадею, каждый электрический заряд окружён созданным им электрическим полем. Будем помещать в точку М поля    заряда q  различные пробные заряды (рис. 1.2).

                                                                     Рис.1.2

На каждый из них электрическое поле действует с различными силами.

Но если величину каждой силы разделить на соответствующее ей значение пробного заряда, то получим одно и то же значение, характерное для точки М этого поля. То есть эта величина может служить силовой характеристикой электрического поля в точке М. Она называется напряжённостью электрического поля:

                                             E = F/q_пр.           (1.4)

Напряжённость электрического поля – векторная величина. Напряжённость не зависит от наличия или отсутствия в данном поле пробных зарядов. Она зависит от свойств самого поля, которое определяется зарядом – источником, расстоянием от него до точки поля, в которой измеряется напряжённость, и средой, в которой создано поле. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м).

Пусть имеется положительный точечный заряд – источник поля Q. Поместим в некоторую точку поля M этого заряда положительный пробный заряд q_пр. На этот заряд будет действовать сила

.                              (1.5)

 

Тогда напряжённость поля, создаваемого точечным зарядом Q в точке M,

.                         (1.6)

Если заряд Q окружает среда с диэлектрической проницаемостью ε, то напряжённость создаваемого им поля

.                       (1.7)

Графически электрическое поле изображают силовыми линиями. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. На рис.1.3 изображены линии напряжённости полей положительного (а), отрицательного (б) и системы из положительного и отрицательного зарядов (в).

Рис. 1.3

О величине напряжённости судят по густоте линий. Чем гуще расположены линии, тем больше величина напряжённости.

Электрическое поле, напряжённость которого в каждой точке одинакова по величине и направлению, называется однородным. Силовыми линиями однородного поля являются параллельные прямые, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Электрическое поле точечного заряда неоднородно.

Если на электрический заряд q одновременно действуют электрические поля нескольких зарядов, то результирующая сила  равна геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого поля в отдельности. Это называется принципом суперпозиции: если в данной точке пространства различные заряды создают электрические поля с напряжённостями Е₁, Е₂ и т.д., то вектор напряжённости электрического поля в этой точке равен сумме векторов напряжённости всех электрических полей (рис. 1.4):

Е = Е₁ + Е₂ + ….+Е_n .                        (1.8)

2. Линии поля. Поток вектора электрического поля.

Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводят так, чтобы направление вектора   в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии (рис. 1.2.1). При изображении электрического поля с помощью силовых линий, их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.

Рисунок 1.2.1. Силовые линии электрического поля

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рис. 1.2.2. Так как электростатическое поле, создаваемое любой системой зарядов, может быть представлено в виде суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов, изображенные на рис. 1.2.2 поля можно рассматривать как элементарные структурные единицы («кирпичики») любого электростатического поля.

Рисунок 1.2.2. Силовые линии кулоновских полей

Кулоновское поле точечного заряда Q удобно записать в векторной форме. Для этого нужно провести радиус-вектор   от заряда Q к точке наблюдения. Тогда при Q > 0 вектор   параллелен   а при Q < 0 вектор   антипараллелен   Следовательно, можно записать: 

где r – модуль радиус-вектора  .

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки S, определим поток вектора напряженности через площадку S как

_E = E S cos .       (1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E, то количество силовых линий, пересекающих площадку S, будет численно равно значению потока _E через поверхность S. Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и S = n S, где n – единичный вектор нормали к поверхности S. Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид

d_E = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Отметим, что поток смещения, определяющий число проходящих линий смещения, есть величина скалярная.