Фазовый портрет идеализированной системы фапч.

Фазовый портрет представляет собой качественное решение нелинейного дифференциального уравнения. Оно изображается в декартовой системе координат, по осям которой откладывается искомая величина φ и ее производная dφ/dt. В любой момент времени состояние системы характеризуется определенными значениями, текущей разностью фаз φ и мгновенной расстройкой dφ/dt, и на фазовой плоскости отображается точкой, которая называется изображающей. С течением времени φ и dφ/dt изменяются и изображающая точка движется по фазовой плоскости. След от этого движения называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, называется фазовым портретом. Уравнение фазового портрета совпадает с дифференциальным уравнением системы (по форме). Для идеализированной системы ФАПЧ оно имеет вид:

Направление движения изображающей точки определяется по формальному правилу:

Если производная функции положительна, то функция возрастает и наоборот, если производная отрицательна, то функция убывает.

Точки, в которых сходятся несколько фазовых траекторий, называются особыми точками. Особые точки соответствуют установившемуся состоянию равновесия в системе. Если траектории входят в особую точку, то она называется устойчивой, если выходят – неустойчивой. Соответствующим будет и режим.

По фазовому портрету можно определить:

1. устойчивость системы;

2. статические характеристики;

3. переходные процессы.

Для нелинейных систем различают устойчивость в малом и устойчивость в большом, в зависимости от начальных условий. Система считается устойчивой в малом, если при снятии малого возмущения она возвращается в исходное положение. По фазовому портрету эта устойчивость определяется так: если в фазовом портрете существуют устойчивые особые точки, то система устойчива в малом. Устойчивость в большом определяет диапазон начальных условий, в пределах которого система будет устойчива в малом. Начальные условия: φ_Н, Ω_Н.

Ω_Н - начальная расстройка.

При любой начальной разности фаз изображающая точка будет стремиться к устойчивой особой точке и система будет устойчива в малом.

При изменении начальной расстройки линии, соответствующие фазовым траекториям, перемещаются по вертикали. Если начальная расстройка Ω_Н будет дольше полосы удержания Ω_У, то фазовая траектория пройдет над осью φ и особых точек не будет, значит условие устойчивости в большом: |Ω_Н| < Ω_У.

Статические характеристики идеализированной системы фапч.

Основной статической характеристикой является зависимость расстройки в установившемся режиме от начальной расстройки Ω_УСТ(Ω_Н) и вспомогательной - зависимость разности фаз в установившемся режиме от начальной расстройки φ_УСТ(Ω_Н).

Статические характеристики строятся по фазовому портрету как зависимости координат устойчивых особых точек от начальной расстройки.

При Ω_Н=Ω_У неустойчивые и устойчивые особые точки сливаются, образуя полуустойчивую особую точку. Для этой точки отклонение в сторону уменьшения разности фаз не приводит к неустойчивости системы.Так как присмещенииэтого отклонения изображающая точка стремится к устойчивой особой точке.Отклонение в сторону увеличения разности фаз приводит к движению изображающей точки к следующей полуустойчивой. При этом движении разность фаз φ изменяется на 2π (перескок фаз), а мгновенная расстройка dφ/dt изменяется от 0 до 2Ω_У и до 0.

В зависимости от Ω_Н система ФАПЧ может находиться в 3 режимах:

1. в режиме удержания, когда Ω_УСТ=0, при |Ω_Н|<Ω_У;

2. в режиме биений, когда Ω_{МГН. УСТ.} ∈ Ω_Н±Ω_У, при |Ω_Н|>Ω_У;

3. в режиме захвата, когда |Ω_Н|=Ω_У.