Алгебраические критерии устойчивости.

Алгебраический критерий позволяет определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Необходимое условие устойчивости:

Условие: Все коэффициенты характеристического полинома должны быть одного знака.

Необходимое и достаточное условие были получены независимо друг от друга Гауссом и Гурвицом.

Критерий Гурвица.

Для определения устойчивости составляется матрица Гурвица. По главной диагонали записываются все коэффициенты полинома от a_n-1 до a₀. Справа от главной диагонали записываются коэффициенты с увеличивающимися номерами, а слева с уменьшающимися, оставшиеся места заполняются нулями.

Матрица Гурвица:

Линейная система устойчива, если при положительномa_n все определители Гурвица положительны.

Общий недостаток алгебраических критериев – невозможность оценить степень устойчивости, причем трудно понять и причину неустойчивости.

Алгебраический критерий позволяет получить требование устойчивости в виде формул.

Устойчивость системы апчг.

Составим матрицу Гурвица:

1. _{TФНЧ = TЧД = TПГ = T}

2. _{TФНЧ> TЧД> TПГ}

На практике в АПЧГ обязательно есть элемент с большим T для обеспечения стабильной работы.

Последнее соотношение определяет требование к K_Р(p), исходя из знака ОС.

Качество регулирования.

Качество определяется сравнением ожидаемого и получаемого.

δ(t) – мера качества (ошибка) – разница между желаемым и действительным. Для следящих системK_Ж(p) = 1.

Качество регулирования определяется для некоторых типовых воздействий, к которым реальные процессы могут быть близкими.

Виды воздействий:

1. полиномиальное воздействие – модель медленно меняющегося воздействия;

2. скачкообразное воздействие – модель быстро меняющегося процесса;

3. гармоническое воздействие – модель периодического процесса;

4. стационарный случайный процесс.

Для скачкообразного задающего воздействия при нулевом х_З(t) получается следующая ошибка:

_{Т.е. мерой качества является отличие переходной характеристики замкнутой системы от единицы. Так как при наблюдении переходная характеристика автоматически сравнивается с единицей, то мерой качества считают саму переходную характеристику.}

1. _{Качество регулирования можно определить по числовым показателям переходной характеристики.}

1. _{tm – время достижения первого максимума;}

2. _{tРЕГ – время регулирования;}

3. _{ТВ – период колебания на вершине;}

4. _{(∆hm)/hУСТ *100 – перерегулирование.}

2. Определение качества при гармоническом воздействии.

Показатель колебательности:

3. Определение качества при полиномиальном воздействии.

Качество регулирования при полиномиальном воздействии определяется для каждого из слагаемого полинома и соответственно получаются ошибки.

Виды ошибок:

1. статическая ошибка – при постоянном воздействии:

2. скоростная ошибка – при линейноменяющимся воздействии:

3. ошибка по ускорению – при квадратичном воздействии:

4. Стационарный случайный процесс.

x(t) – стационарный случайный процесс, как правило, нормальный.