Критерий устойчивости Михайлова.

Устойчивость определяется по поведению частотного характеристического полинома (полинома Михайлова):

_{Линейная система устойчива, если при изменении частоты ω от -∞ до ∞ изменение аргумента полинома Михайлова равно nπ радиан.}

_{Найдем изменение аргумента отдельного сомножителя:}

Если корень находится в левой полуплоскости, то изменение аргумента вектора (jω – p_i) равно π радиан. Для устойчивой системы все аргументы находятся в левой полуплоскости, поэтому изменение аргумента:

_{Если корень находится в правой полуплоскости, то изменение аргумента вектора (jω – pi) равно –π радиан, потому, если система неустойчива и характеристическое уравнение имеет l корней в правой полуплоскости, то изменение аргумента^}

_{Рассмотрим в качестве примера систему третьего порядка:}

_{Т.к. действительная часть полинома Михайлова четная, а мнимая – нечетная, то годограф Михайлова образует две симметричные ветви для положительных и отрицательных частот. Поэтому можно анализировать изменение полинома только для положительных частот.}

_{Для устойчивой линейной системы изменение частоты полинома Михайлова ω от 0 до ∞ равно n∙(π/2) радиан, а для неустойчивой системы изменение полинома Михайлова равно (n – 2m)∙(π/2) радиан.}

Критерий Найквиста.

_{Критерий Найквиста применим только для замкнутых систем.}

Замкнутая линейная система устойчива при неустойчивой разомкнутой, если изменение аргумента выражения {1 + К_Р(jω)} равно nπ радиан при изменении частоты ω от 0 до ∞, где n – количество положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Доказательство:

Пусть частотная характеристика разомкнутой системы равна:

_{B(jω) – полином Михайлова.}

_{Полином Михайлова совпадает со знаменателем частотной характеристики, поэтому B(jω) является полиномом Михайлова разомкнутой системы.}

_{Запишем частотную характеристику замкнутой системы:}

_{A(jω) + B(jω) – полином Михайлова замкнутой системы.}

_{Если мы считаем замкнутую систему устойчивой, поэтому изменение аргумента {A(jω) + B(jω)} равно n∙(π/2); разомкнутая система неустойчива, поэтому:}

_{Как правило разомкнутая система устойчива и требование для анализа будет следующим:}

_{Годограф разомкнутой системы:}

Практическая формулировка критерия Найквиста: линейная замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой системе, если годограф частотной характеристики разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;0).

Достоинством критерия Найквиста является то, что можно определить и степень устойчивости, для этого вводятся запасы устойчивости по усилению ∆_K и по фазе ∆_φ.

Запас устойчивости по усилению показывает во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы замкнутая система из устойчивой стала неустойчивой.

Запас устойчивости по фазе показывает, какой фазовый сдвиг нужно внести в разомкнутую систему, чтобы замкнутая система из устойчивой системы стала неустойчивой системой.

_{Критерий устойчивости Найквиста для АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы: линейная замкнутая система устойчива при устойчивой разомкнутой системе, если в области частот, где АЧХ разомкнутой системы больше единицы и ФЧХ разомкнутой системы или не пересекает значения –π, или пересекает –π сверху вниз и снизу вверх одинаковое количество раз.}

_{АЧХ системы, состоящей из последовательного соединения звеньев удобней строить в логарифмическоммасштабе, т.е. пользоваться логарифмическими частотными характеристиками.}