Свойства функций, непрерывных в точке
1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
Доказательство
этого свойства основывается на том, что
при малых приращениях аргумента
можно получить как угодно малое приращение
функции
в окрестностях
не
изменится.
3. Если
функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
,
то сложная функция
непрерывна
в точке
.
Доказательство состоит в том, что малому
приращению аргумента
соответствует
как угодно малое приращение
,
приводящее в свою очередь к непрерывности
функции
к
как угодно
малому
приращению
.
Свойство можно
записать:
,
Т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.
Определение.
Функция
называется непрерывной
на промежутке
,
если она непрерывна в каждой точке этого
промежутка. Все элементарные функции
непрерывны в области их определения.
Точки разрыва функции
Определение. Если в какой-нибудь точке для функции не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка называется точкой разрыва функции.
Причем: 1) Если
существуют конечные односторонние
пределы функции, неравные друг другу:
,
то точка
- точка разрыва I
рода.
2) Если хотя бы один
из односторонних пределов функции
или
равен бесконечности или не существует,
то точка
- точка разрыва II
рода.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
1.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она ограничена на этом отрезке. (рис.
1.1)
2.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то она достигает на этом отрезке
наименьшего значения
и наибольшего значения
(теорема Вейерштрасса). (рис. 1.2)
3
.
Если функция
непрерывна на отрезке
и значения ее на концах отрезка
и
имеют противоположные знаки, то внутри
отрезка найдется точка
такая, что
.
(Теорема Больцано-Коши.)
П
ример.
Исследовать
на непрерывность и найти точки разрыва
функции
.
Установить характер разрыва.
Решение.
При
функция не определена, следовательно,
функция в точке
терпит разрыв:
,
а
.
Так как односторонние пределы бесконечны,
то
- точка разрыва второго рода.
21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
Пусть на некотором
промежутке Х
определена функция y=f(x).
Возьмем любую точку
.
Зададим
аргументу х
произвольное приращение ∆х
≠ 0 такое,
что точка х+∆х
также будет принадлежать Х.
Функция получит приращение ∆у=
f(x+∆х)−
f(x).
Определение. Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует).
Для обозначения производной функции y=f(x) в точке х используются символы у′(х) или f′(x).
Итак, по определению,
.
Если для некоторого значения х0 выполняется условие
или
,
т.е. пределы равны бесконечности, то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную.
Если функция y=f(x) имеет конечную производную в каждой точке , то производную f′(x) можно рассматривать как функцию х, также определенную на Х. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.