Задача о касательной

Пусть на плоскости дана непрерывная функция и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке .

Уравнение прямой по точке , принадлежащей этой прямой, и угловому коэффициенту имеет вид: , где , ( - угол наклона прямой). Из (рис.5.1) найдем тангенс угла наклона секущей : . Если точку приближать к точке , то угол будет стремиться к углу , т.е. при . Следовательно, .

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной: производная f′(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f′(x) в точке х₀, т.е. k= f′(x₀).

Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀ примет вид

Пример. Найти производную функции f(x)=х².

Решение. Придавая аргументу х приращение ∆х, найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение:

Найдем предел этого отношения при ∆х → 0:

22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Δу в этой точке можно представить в виде

,

где А – некоторое число, не зависящее от , а α( ) – функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при →0, т.е.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в данной точке х , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью

Пример. Доказать, что функция y=│х│ недифференцируема в точке х=0 .

Решение. Производная функции (если она существует) равна

Очевидно, что при х=0 производная не существует, так как отношение , т.е. не имеет предела при Δх→0 (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х=0.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀,, то она в этой точке непрерывна.

□Доказательство. По условия функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, т.е. существует конечный предел

где f′(x₀) – постоянная величина, не зависящая от .

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где α(∆х) является бесконечно малой величиной при →0, или

.

При Δх→0 на основании свойств бесконечно малых величин устанавливаем, что Δу→0 и, следовательно, по определению непрерывности функции в точке, делаем вывод, что функция непрерывна в токе х₀. ■

Обратная теорема, вообще говоря, неверна, если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция y=│х│ непрерывна в точке х₀=0, ибо но, как было доказано ранее недифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие ее дифференцируемости.

Замечание: Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке Х, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функция допускает конечное число точек разрыва, то такая функция на данном промежутке называется кусочно гладкой.