- •Метод обратной матрицы.
- •11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
- •Решение системы линейных уравнений с неизвестными
- •12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Основные свойства функций
- •13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная функция
- •Основные элементарные функции
- •14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
- •Взаимное расположение двух линий
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Точка пересечения прямых
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке
- •Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. Второй замечательный предел.
- •20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
- •Задача о касательной
- •22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции
- •Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- •23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Производная сложной функции
- •25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
- •29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
- •30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла
- •38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
- •41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.
- •Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
- •Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- •Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Е сли точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.
Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением. Однако не всякое уравнение на определяет на плоскости некоторую линию.
Например: определяет только одну точку (0;0);
не определяет никакого множества точек, т.к. левая часть уравнения не может равняться нулю.
Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии , надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению .
Уравнения линии могут быть самыми различными, однако надо отметить, что не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.
Взаимное расположение двух линий
Чтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать уравнений этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений
Например, прямая линия и окружность имеют 2 общие точки, так как система из этих уравнений имеет два решения:
.
Уравнение прямой на плоскости
В декартовой системе координат рассмотрим прямую , расположенную под углом к оси (рис. 3.7).
|
Выберем на прямой L произвольную точку . Из найдем тангенс угла наклона прямой: . Введем угловой коэффициент прямой . Из последнего равенства (3.1) |
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Частные случаи уравнения (3.1):
Если , тогда и уравнение (3.1) представляет прямую, проходящую через начало координат под углом к оси (рис. 3.8).
Если (т.е. ), тогда и уравнение (3.1) представляет собой прямую, параллельную оси (рис. 3.9).
Если , тогда прямая (рис. 3.10). Предположим, что отсекает на оси отрезок, равный (рис. 3.10). Очевидно, что уравнений такой прямой .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
|
Пусть прямая образует с осью угол и проходит через точку . Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.1), т.е. . (3.2) Вычитая из (3.1) уравнение (3.2), получим . (3.3)
Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту . |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
|
Пусть известны две точки, принадлежащие , . Запишем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : . (3.4) Т.к. точка также принадлежит , то ее координаты будут удовлетворять данное равенство: . |
Из последнего равенства . Подставляя выражение для в уравнение (3.4): , получим уравнение прямой по двум точкам
(3.5).