- •Метод обратной матрицы.
- •11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
- •Решение системы линейных уравнений с неизвестными
- •12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Основные свойства функций
- •13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная функция
- •Основные элементарные функции
- •14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
- •Взаимное расположение двух линий
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Точка пересечения прямых
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке
- •Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. Второй замечательный предел.
- •20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
- •Задача о касательной
- •22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции
- •Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- •23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Производная сложной функции
- •25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
- •29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
- •30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла
- •38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
- •41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.
- •Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
- •Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- •Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
Производная функции м.б. найдена по схеме:
Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).
Основные правила дифференцирования
Производная постоянной равна нулю, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■
Производная аргумента равна единице, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим функцию . При любых и имеем и . Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
.
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
Найдем приращение функции: .
Составим отношение , которое представим в виде: .
Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:
На основании определения производной получили, что:
или . ■
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
(при условии, что ).
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
2) Найдем приращение функции:
3) Составим отношение , которое представим в виде:
4) Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах: ■
24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
Производная логарифмической функции.
А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:
1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
2) Находим приращение функции .
3) Составляем отношение .
4) Находим предел этого отношения при , т.е. .
Обозначив , найдем и .
В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке - ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:
.
Итак, и .
Б) . Найдем , т.е.
и .
Производная показательной функции.
А) - прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.
и .
Б) . . Итак,
и
Производная степенной функции.
, для любого . Прологарифмируем обе части равенства . Дифференцируем: , откуда , т.е:
и
Производная степенно-показательной функции.
. . Дифференцируем: .
Производная тригонометрических функций.
и
и
и
и