- •Метод обратной матрицы.
- •11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
- •Решение системы линейных уравнений с неизвестными
- •12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
- •Способы задания функций:
- •Основные свойства функций
- •13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная функция
- •Основные элементарные функции
- •14. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести). Уравнение линии на плоскости
- •Взаимное расположение двух линий
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Точка пересечения прямых
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
- •16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке
- •Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
- •Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.Е.
- •Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.Е.
- •Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.Е.
- •Бесконечно большие величины
- •Свойства бесконечно больших величин
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами
- •19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. Второй замечательный предел.
- •20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. Непрерывность функции
- •Свойства функций, непрерывных в точке
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •Точки разрыва функции
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Определение производной
- •Задача о касательной
- •22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему). Понятие дифференцируемости функции
- •Связь между дифференцируемостью функции и ее непрерывностью
- •23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
- •5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
- •24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
- •Производная сложной функции
- •25. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •27. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать).
- •29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
- •30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •31. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные
- •Частные производные функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •35. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •36. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •Методы вычисления определенного интеграла
- •37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •Геометрический смысл определенного интеграла.
- •Экономический смысл определенного интеграла.
- •Свойства определенного интеграла
- •38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •40. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
- •41. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.
- •Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
- •42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
- •Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- •Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
- •Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Понятие функции одной переменной
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении: , где - путь, - время, - параметр.
Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то тогда говорят, что на множестве задана функция .
При этом называется независимой переменной (или аргументом), - зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.
Множество называется областью определения (или существования) функции, а множество - областью значений функции.
Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т.е. множество таких значений , при которых функция вообще имеет смысл.
Способы задания функций:
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Этот способ наиболее часто встречается на практике.
Например, функция задана аналитически. Не следует, однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция имеет два аналитических выражения: (при ) и (при ).
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.
, , .
в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: , если - иррационально.
Основные свойства функций
1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.
Пример.
а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). . |
|
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.
Пример.
1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б). |
|
3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.
- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .
4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .
Пример.
, период , т.к. для любых .
|
|