Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
Уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение
прямой с угловым коэффициентом
.
Перенесем все слагаемые в левую часть
и перепишем его в следующем виде:
,
-
(3.6)
общее уравнение
прямой,
где
и
не
равны нулю одновременно, т.е.
.
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
Если
,
т.е. уравнение (3.6) не содержит
,
то оно представляет прямую, параллельную
оси
(рис.
3.9):
.
Если
- уравнение оси
.
Если
(уравнение не содержит
),
тогда прямая параллельна оси
(рис.3.10):
.
Если
- уравнение оси
.
3) Если
,
тогда уравнение имеет вид
и прямая проходит через начало координат
(рис. 3.8).
Точка пересечения прямых
Если заданы две
прямые
и
,
то координаты точки их пересечения
должны удовлетворять уравнению каждой
прямой, т.е. они могут быть найдены из
системы:
.
Если прямые не
параллельны, т.е.
,
то решение системы дает единственную
точку пересечения прямых.
15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:
,
- (3.6)
общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
Пусть . Тогда уравнение можно записать в виде: . Обозначим .
Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);
Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);
Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , , то (уравнение оси Ох).
Пусть , . Тогда уравнение примет вид . Обозначим .
Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , то (уравнение оси Оу).
Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.
- общее уравнение прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми . И наоборот, если , то по этой же формуле и .
Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.
- условие
параллельности двух прямых.
Если прямые
перпендикулярны,
то
, при
этом
или
,
откуда
или
.
Справедливо так же и обратное утверждение.
Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
- условие
перпендикулярности двух прямых.
Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и , то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: .
Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.
Условие
перпендикулярности прямых
в этом случае примет вид
или
,
Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.