- •1.Понятие о системном подходе и системном анализе
- •1.Системные исследования
- •2.Системный подход
- •3.Системный анализ
- •4.Системные исследования в менеджменте качества
- •2.Определение системы
- •1.Определение понятия «система»
- •2.Основные понятия, входящие в определение системы
- •3.Классификация системы
- •4.Понятие о системе качества
- •3.Определение и описание структуры системы
- •1.Понятие о структуре
- •2.Структурные схемы
- •3.Графы структуры
- •3.3Матричная форма записи графа
- •3.4.Списковая форма записи графа
- •4.Анализ структуры системы
- •1.Анализ элементов
- •2.Анализ связи
- •3.Диаметр структуры
- •5.Анализ структуры системы
- •4.Связность
- •5.Степень централизации
- •6.Сложность
- •7.Структурный анализ систем менеджмента качества
- •6.Информационные модели системы
- •1.Определение информационного анализа
- •2.Графическая схема (модель) процесса
- •3.Построение информационной модели процесса
- •7.Определение и описание функциональной системы
- •1.Определение функций системы
- •2.Классификация функций системы
- •3.Описание функций
- •4.Функциональная модель системы
- •8.Методология функционального анализа систем sadt (idef)
- •1.Истоки методологии sadt
- •2.Sadt-модель системы
- •3.Декомпозиция sadt-модели
- •10.Анализ иерархии системы
- •1.Понятие об иерархическом анализе
- •2.Метод анализа иерархии т. Саати
- •3.Построение иерархии
- •11.Матрицы парных сравнений
- •1.Понятие о матрицах парных сравнений
- •2.Шкала отношений
- •3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
- •12.Определение вектора приоритетов иерархии
- •1.Понятие о векторе приоритетов
- •2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
- •3.Оценка согласованности (однородности) суждений экспертов
- •4. Определение результирующего вектора приоритета.
- •13.Основные направления математического анализа систем
- •1. Понятие о математическом анализе систем
- •2. Логический анализ систем
- •3. Физическая интерпретация формальных систем
- •4. Пример интерпретации формальной системы
- •13.Математическое моделирование систем
- •1. Классификация моделей
- •2. Характеристики основных классов моделей систем
- •3. Оптимизация решений, принимаемых при проектировании и эксплуатации систем
- •15.Модель принятия решений человеком
- •1. Процесс принятия решений человеком
- •2. Общая схема принятия решений
- •3. Задача принятия решений
- •4. Формальная модель принятия решений
- •16.Постановка задачи выбора решений
- •1. Классификация задач принятия решений
- •2. Принятие решений в условиях определенности
- •3. Виды неопределенности задачи принятия решений
- •14.Комбинаторно-морфологический метод оптимизации решения
- •1. Понятие о морфологическом анализе и синтезе систем
- •2. Морфологические таблицы
- •3. Обобщенный алгоритм комбинаторно-морфологического метода оптимизации решения
- •17.Задача линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •20.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •1. Фундаментальная теорема линейного программирования
- •4. Альтернативный оптимум
- •18.Нелинейное программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •3. Методы условной и безусловной оптимизации
- •4. Классический метод определения условного экстремума
- •5. Метод множителей Лагранжа
- •19.Поисковые методы оптимизации
- •1. Непосредственные градиентные методы
- •2. Поиск по способу «оврагов»
- •9.Поисковые методы оптимизации
- •3. Метод зигзагообразного поиска
- •4. Метод функций штрафа
- •5. Метод случайного поиска
17.Задача линейного программирования
1. Постановка задачи линейного программирования
Среди известных разделов исследования операций наиболее развитым и законченным является линейное программирование. Решение задачи линейного программирования осуществляется в три этапа:
Составление математической модели (постановка задачи);
Определение оптимального решения симплекс-методом;
Анализ полученного решения.
1.1. Общая форма задачи линейного программирования
Математическую задачу линейного программирования можно представить следующим образом:
«Найти совокупность значений n переменных х1, х2, …, хn, удовлетворяющих системе ограничений:
(16.1)
и условием неотрицательности
,(16.2)
где , для которых целевая функция
(16.3)
достигает экстремума (максимума или минимума).»
Определим основные понятия линейного программирования:
Возможное решение (план) – это вектор , координаты которого удовлетворяют системе (1);
Допустимое решение (план) – это вектор , координаты которого удовлетворяют не только системе (16.1), но и условиям неотрицательности (16.2);
Область допустимых решений – это совокупность возможных допустимых решений;
Оптимальное решение – это допустимое решение , для которого линейная функция (16.3) достигает максимума или минимума.
Ограничительные условия (16.1) могут состоять только из уравнений (l=m), только из неравенств (l=0) или из уравнений и неравенств (0lm). В первых двух случаях они называются однородными, в третьем случае – смешанными.
1.2. Каноническая форма задачи линейного программирования
Для единообразия формулировки задачи линейного программирования и удобства применения симплекс-метода вводится следующая каноническая форма:
«Найти совокупность знаний n переменных хk (где k=1,2,…, n), удовлетворяющих системе m уравнений:
(16.4)
при условии неотрицательности
(где k=1,2,…, 3) (16.5)
для которых целевая функция
(16.6)
достигает максимума».
1.3. Приведение задач линейного программирования к канонической форме
если в задаче требуется минимизировать целевую функцию z, то заменив ее на противоположную , придем к эквивалентной задаче максимизации функции z1.
если условию неотрицательности подчинены не все переменные (tn), то вместо каждой произвольной (т.е. неподчиненной этим условиям) переменной х вводится две неотрицательные переменные и из соотношения .
Пример.
Привести к канонической форме следующую задачу линейного программирования:
« Найти совокупность значений , удовлетворяющих системе ограничений
и условиям неотрицательности , для которых целевая функция ».
Для приведения задачи к каноническому виду:
введем во второе и третье неравенство балансовые переменные х7 (со знаком плюс) и х8 (со знаком минус);
т.к. условию неотрицательности не подчинены переменные х3 и х4, то введем вместо каждой из них разность двух неотрицательных переменных ; ;
при переходе от задачи минимизации к задаче максимизации вместо целевой функции z введем обратную ей функцию z1=-z, тогда в результате получим каноническую форму:
«Найти совокупность значений десяти переменных , удовлетворяющих системе уравнений:
при условии неотрицательности , для которых целевая функция z1 достигает максимума ».
Сформулированная таким образом задача линейного программирования может решаться стандартным симплекс-методом.