3.3Матричная форма записи графа

3.3.1.Матрица смежности

Граф можно задать матрицей смежности

V = ||v_ij||, где

v_ij = 1, если граф содержит ребро (i, j);

v_ij = 0, в противном случае.

Например, граф структурной схемы системы менеджмента качества, изображенный на рис.3.2 можно представить в виде следующей матрицы смежности.

(матрица)

3.3.2.Матрица инциденций

Используются и другие формы матричной записи графов. Например, в виде матрицы инциденций

W = ||w_ij||, где

1, если i – начальная вершина ребра (i, j);

w_ij = -1, если i – конечная вершина ребра (i, j);

0. в остальных случаях.

Например, для графа на рис.3.2 матрица инциденций будет выглядеть следующим образом.

(матрица)

Если граф не ориентирован, то матрица инциденций содержит только 0 и 1.

w_ij = 1, если имеется ребро (i, j);

w_ij = 0 в обратном случае.

3.4.Списковая форма записи графа

Большое число нулей в матрице смежности и инциденций свидетельствует о неэкономичности этих форм представления графов, что особенно существенно, если графы содержат много вершин. Поэтому помимо матриц используются списковые формы записи графов. Список представляет собой множество

R = [R(i)], где

R(i) R – есть множество вершин графа, в которые можно непосредственно попасть из i-ой вершины.

Например, в графе структуры менеджмента качества, показанной на рис.3.2 можно представить следующим списком.

R_3.1 = [R(О)={Р}, R(Р)={Ц}, R(Ц)={И,У}, R(И)={О}, R(У)={П},

R(П)={Т}, R(Т)={Ц}]

Эту запись можно упростить, если элементы множеств R(i) записать в круглых скобках, перед которыми поставить номер (обозначение) i: R = [О(Р), Р(Ц), Ц(И,У), И(О), У(П), П(Т), Т(Ц)]

4.Анализ структуры системы

Описание структуры системы в виде графа дает возможность провести анализ структуры системы и оценить ее качество. Рассмотрим следующие основные задачи анализа структур.

1.Анализ элементов

При исследовании структуры особое значение имеет выделение элементов, соответствующих изолированным, висячим и тупиковым вершинам графа. Изолированные вершины не инцидентны ни одному из ребер графа; висячие соответствуют вершинам, в которые нельзя попасть ни из одной другой вершины графа; тупиковые соответствуют вершинам, из которых нельзя попасть в другие вершины графа. В качестве примера рассмотрим граф на рис.4.1.

Рис.4.1 Фрагмент структуры системы

Граф на рис.4.1 содержит изолированную вершину 12, висячие вершины 1, 2, 3 и ни одной тупиковой вершины. Если соединить вершину 12 с вершинами 11 и 8, то она превратиться в тупиковую. Изолированные, висячие и тупиковые вершины на графе отыскиваются следующим образом:

Берется матрица смежности графа V = ||v_ij||;

По этой матрице для каждой вершины k (k = 1, 2, … , n), где n – число вершин в графе, определяется вектор v(k) = (v_k, v^k) с компонентами

v_k = , v^k = , где

v_k – сумма элементов k-ой строки матрицы V, определяющее число ребер, выходящих из вершины k,

v ^k – сумма элементов k-го столбца матрицы V, определяющее число ребер, входящих в вершину k

v_k = v^k = 0, то вершина k изолированная;

Если v_k = 0, то вершина k тупиковая;

v^k = 0, то вершина k висячая.

Что дает анализ элементов?

а. Наличие в графе изолированных вершин обычно свидетельствует об ошибках, допущенных при формировании или описании структуры, ведь система всегда целостный объект, все элементы которого взаимосвязаны;

б. Висячие вершины должны соответствовать входным элементам системы (вход системы);

в. Тупиковые вершины должны соответствовать выходным элементам системы (выход системы);

г. Через висячие и тупиковые вершины осуществляется процесс взаимодействия системы с внешней средой, поэтому очень важно, чтобы путем исследования графа они были правильно интерпретированы.