- •1.Понятие о системном подходе и системном анализе
- •1.Системные исследования
- •2.Системный подход
- •3.Системный анализ
- •4.Системные исследования в менеджменте качества
- •2.Определение системы
- •1.Определение понятия «система»
- •2.Основные понятия, входящие в определение системы
- •3.Классификация системы
- •4.Понятие о системе качества
- •3.Определение и описание структуры системы
- •1.Понятие о структуре
- •2.Структурные схемы
- •3.Графы структуры
- •3.3Матричная форма записи графа
- •3.4.Списковая форма записи графа
- •4.Анализ структуры системы
- •1.Анализ элементов
- •2.Анализ связи
- •3.Диаметр структуры
- •5.Анализ структуры системы
- •4.Связность
- •5.Степень централизации
- •6.Сложность
- •7.Структурный анализ систем менеджмента качества
- •6.Информационные модели системы
- •1.Определение информационного анализа
- •2.Графическая схема (модель) процесса
- •3.Построение информационной модели процесса
- •7.Определение и описание функциональной системы
- •1.Определение функций системы
- •2.Классификация функций системы
- •3.Описание функций
- •4.Функциональная модель системы
- •8.Методология функционального анализа систем sadt (idef)
- •1.Истоки методологии sadt
- •2.Sadt-модель системы
- •3.Декомпозиция sadt-модели
- •10.Анализ иерархии системы
- •1.Понятие об иерархическом анализе
- •2.Метод анализа иерархии т. Саати
- •3.Построение иерархии
- •11.Матрицы парных сравнений
- •1.Понятие о матрицах парных сравнений
- •2.Шкала отношений
- •3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
- •12.Определение вектора приоритетов иерархии
- •1.Понятие о векторе приоритетов
- •2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
- •3.Оценка согласованности (однородности) суждений экспертов
- •4. Определение результирующего вектора приоритета.
- •13.Основные направления математического анализа систем
- •1. Понятие о математическом анализе систем
- •2. Логический анализ систем
- •3. Физическая интерпретация формальных систем
- •4. Пример интерпретации формальной системы
- •13.Математическое моделирование систем
- •1. Классификация моделей
- •2. Характеристики основных классов моделей систем
- •3. Оптимизация решений, принимаемых при проектировании и эксплуатации систем
- •15.Модель принятия решений человеком
- •1. Процесс принятия решений человеком
- •2. Общая схема принятия решений
- •3. Задача принятия решений
- •4. Формальная модель принятия решений
- •16.Постановка задачи выбора решений
- •1. Классификация задач принятия решений
- •2. Принятие решений в условиях определенности
- •3. Виды неопределенности задачи принятия решений
- •14.Комбинаторно-морфологический метод оптимизации решения
- •1. Понятие о морфологическом анализе и синтезе систем
- •2. Морфологические таблицы
- •3. Обобщенный алгоритм комбинаторно-морфологического метода оптимизации решения
- •17.Задача линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •20.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •1. Фундаментальная теорема линейного программирования
- •4. Альтернативный оптимум
- •18.Нелинейное программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •3. Методы условной и безусловной оптимизации
- •4. Классический метод определения условного экстремума
- •5. Метод множителей Лагранжа
- •19.Поисковые методы оптимизации
- •1. Непосредственные градиентные методы
- •2. Поиск по способу «оврагов»
- •9.Поисковые методы оптимизации
- •3. Метод зигзагообразного поиска
- •4. Метод функций штрафа
- •5. Метод случайного поиска
2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
В вычислительной математике существует несколько разных методов вычислений собственных векторов матрицы. В иерархическом анализе систем будем использовать следующие два метода, которые применяются в менеджменте качества.
2.1.Метод последовательных итераций, который мы будем далее называть «точным». В силу трудоемкости он выполняется только на компьютере. По этому методу главный собственный вектор X матрицы , соответствующий максимальному собственному значению вычисляется по формуле
(10.2)
m= 1,2,3,… – показатели степени, в которую возводится матрица ;
Т – знак транспонирования вектора (матрицы);
е = {1,1,1,…,1}Т – единичный вектор (транспонирования);
С – константа.
Вычисление собственного вектора Х по формуле (10.2) проводится до достижения заданной точности:
(10.3)
где Xm, Xm-1 – значения собственного вектора, рассчитанные собственно на m-ом и m–1-ом шагах итерации;
- заданная точность итерационного процесса.
Максимальное собственное значение матрицы вычисляется по формуле:
(10.4)
Таким образом, получаем по матрице вектор приоритетов X = (x1, x2, … xN), который в матричной форме представляется так:
2.2.Метод усреднения по нормализованным столбцам,
который далее будем называть «приближенным». Метод позволяет приближенно оценить составляющие вектора Х. При отсутствии компьютера эти простые расчеты могут быть выполнены вручную (на калькуляторе).
Второе правило Саати:
Чтобы получить собственный вектор Х по этому методу, необходимо: разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки.
Это правило можно формализовать и представить в виде следующей формулы для вычисления составляющих приближенного вектора приоритетов Х*:
(10.5)
Используя формулу (10.5) можно составить программу и выполнять расчеты на компьютере в случае большего числа матриц парных сравнений при сложной иерархии. В матричной форме полученный приближенный вектор приоритетов представляется так:
Для приближенного определения применяется следующее правило. Умножив матрицу справа на полученный по формуле (10.5) приближенный вектора приоритетов, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту приближенного вектора приоритетов, вторую компоненту на вторую компоненту и т.д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого последнего вектора на число компонент N, найдем приближение числу , которое далее используется для оценки согласованности заполнения матрицы .
Это правило можно формализовать и представить в виде следующих формул:
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.9)
– вектор, получающийся после перемножения матрицы на вектор приоритетов;
– матричная форма представления вектора V;
Y = (y1, y2,…, yN) – новый вектор, получающийся после деления компонент;
– приближение к максимальному собственному значению матрицы .