55

Вероятностные методы при проектировании

9. Вероятностные методы при проектировании

Предположим, что прочность изделия оценивается параметром П. Например это могут быть напряжения в опасном сечении изделия, вызывающие его отказ. Реальные напряжения, вызванные действующими на изделия нагрузками во время его функционирования, обозначим символом Н. Во многих случаях Н и П можно считать случайными величинами, значение которых зависит от различных факторов. Например на прочность изделия могут влиять: чистота обработки поверхности, химический состав и структура материала, абсолютные размеры и т.д. В тоже время нагрузки определяются внешними силовыми и кинематическими воздействиями, геометрическими параметрами и т.д.

Характерный вид графиков плотности распределения Н и П представлен на рис.9.1.

Рис.9.1. Распределение прочности и нагрузки

На рисунке изображена заштрихованная область, расположенная над зоной, где нагрузки могут превышать прочность.

Методы оценки прочности, основанные на анализе вероятностных характеристик Н и П называется вероятностными методами проектирования. Они получают в настоящее время все большее распространение.

9.1. Вероятность безотказной работы

Рассмотрим случайную величину Y=П-Н. Если известна функция распределения Y, то вероятность безотказной работы можно определить на основе известных соотношений

.

Выведем формулы для определения R по заданным распределениям Н и П. Для этого рассмотрим подробнее зону перекрытия распределений, рис.9.2.

Рис.9.2. Область перекрытия распределений напряжений и прочности

На графике по оси абсцисс откладываются напряжения s, соответствующие нагрузке и прочности. Из рассмотрения рисунка можно вывести следующие соотношения [1].

1. Вероятность того, что некоторое напряжение находится в интервале ds равна площади заштрихованного элемента

f_Н(s₀) ds.

2. Вероятность того, что прочность превышает значение некоторого напряжения можно вычислить по формуле

.

3. Вероятность одновременного выполнения событий 1 и 2

.

4. Вероятность безотказной работы есть вероятность того, что прочность П превышает напряжения Н для всех возможных значений нагрузки

. (9.1)

Действуя аналогично можно так же показать, что

. (9.2)

На основе последних двух выражений можно получить соотношения для вычисления вероятности отказа в следующем виде:

.

2. Вероятность безотказной работы при нормальном

распределении напряжений и прочности

Полагая прочность и напряжения независимыми, введем случайную величину Y=П-Н, которая так же будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией, вычисляемыми в соответствии с п.6.2.1. по формулам

m_y = m_П - m_Н ;

S_y² = S_П² + S_Н² .

Таким образом, вероятность безотказной работы - это вероятность положительности величины Y, т.е.

.

Переходя к нормированному представления Y, получим

.

Тогда вероятность безотказной работы равна R = 1 - Ф(z) = Ф(-z).

Пример 9.1. Прочность и напряжения имеют нормальное распределение с параметрами (m_П;S_П)=(40;4) МПа , (m_Н;S_Н)=(30;3) МПа . Требуется вычислить вероятность безотказной работы.

Решение. Определяем нормализованное значение величины Y=П-Н

.

По таблице нормального распределения находим R = Ф(2)=0,977 .

Следующий пример служит иллюстрацией нечувствительности традиционных методов оценки прочности по коэффициенту безопасности к изменению надежности.

Пример 9.2. Исследуется надежность детали двигателя в двух возможных условиях эксплуатации, влияющих на дисперсию прочности детали. Параметры нормального распределения эксплуатационных напряжений одинаковы и составляют

(m_Н;S_Н)=(350;40) МПа.

Параметры нормального распределения прочности для двух условий эксплуатации различны

а) (m_П;S_П)=(820;80) МПа;

б) (m_П;S_П)=(820;150) МПа .

Требуется определить прочностную надежность детали.

Решение. 1) Если оценивать по коэффициенту безопасности k=m_П/m_Н=2,34, то оба варианта работы детали будут эквивалентны.

2. Оценим вероятность безотказной работы

а) ; R = Ф(5,25) = 0,9999999;

б) ; R = Ф(3,03) = 0,99877 .

Таким образом, вариант б) много уступает по надежности варианту а).