5. Вероятность безотказной работы при логнормальном

распределении напряжений и прочности

Рассмотрим случайную величину Y=П/Н, тогда ln Y=ln П - ln Н. Заметим, что ln Y - нормально распределенная случайная величина, т.к. ln П и ln Н распределены нормально.

Вероятность безотказной работы

R=P(ln Y>0).

Переходя от ln Y к нормированной случайной величине z, получим

.

Здесь m_lnY=m_lnП - m_lnН и S²_lnY=S²_lnП+S²_lnН. В правой части последних двух выражений содержатся параметры логарифмически нормальных распределений величин П и Н.

Вероятность безотказной работы теперь можно определить с помощью таблицы нормального распределения по формуле

R=1-Ф(z)=Ф(-z).

9.6. Вероятность безотказной работы при экспоненциальном

распределении напряжений и прочности

С помощью формул из 9.1. можно показать, что вероятность безотказной работы определяется следующим выражением:

R=l_Н/(l_П+l_Н).

7. Графический метод определения вероятности безотказной

работы при эмпирических распределениях Н и П

Если невозможно принять допущения о законе распределения величин Н и П, но имеются экспериментальные данные , можно попытаться оценить вероятность безотказной работы по этим данным, не рассматривая гипотез о законах распределения.

Введем следующие обозначения

Тогда dТ=f_Н(s)ds. Подставляя эти выражения в формулу 9.1 с учетом, что 0 £ Т £ 1 получим

.

Последнее выражение говорит о том, что вероятность безотказной работы равна площади под кривой графика зависимости G от T, рис.9.3.

Рис.9.3. Зависимость G от Т

Таким образом для оценки вероятности безотказной работы следует построить графики интегральных законов распределения нагрузки и прочности F_Н(s) и F_П(s). Затем для одинаковых значений s установить соответствующие значения Т= F_Н(s) и G=1-F_П(s) и построить график зависимости G от Т. Очевидно, что этот способ применим и в случае когда законы распределения нагрузки и прочности известны.

7. Модели надежности зависящей от времени

Рассмотренные выше модели оценки надежности, предполагают однократное приложение нагрузок и не учитывают, в частности, возможные их изменения а также прочности во времени. В данном разделе мы постараемся учесть эти явления для некоторых наиболее простых случаев. Для упрощения анализа будем предполагать, что отказ вызывается первым превышением величины нагрузки фактической величины прочности. При этом под термином “нагрузка” мы подразумеваем всякий фактор способствующий появлению отказа, а под термином “прочность” - всяких фактор препятствующий отказу.

Следуя [1] введем следующую классификацию нагрузки и прочности. Во первых нагрузка может:

• прикладываться в определенные моменты времени и продолжительность циклов заранее точно известна;

• прикладываться в случайные моменты времени и, следовательно, продолжительность циклов является случайной величиной.

Во вторых величины нагрузки и прочности могут быть детерминированными или случайными величинами и отнесены к одной из следующих трех категорий.

Детерминированная величина. Такая величина заранее известна, т.е. полностью отсутствует неопределенность в оценках нагрузки и прочности. И хотя такая модель почти никогда не соответствует действительности, она часто применяется при традиционном инженерном подходе. Учет неопределенности происходит на стадии оценки коэффициентов запаса.

Фиксированная случайная величина. Такая величина в начальный момент времени случайна, а в дальнейшем детерминирована, т.е. изменяется во времени известным образом. Например модель зависимости прочности какой либо детали от времени может быть представлена в виде s_п=s₀-a×t, где s₀- случайная величина характеризующая начальное значение прочности (в момент времени t=0); a- коэффициент характеризующий темп убывания прочности от времени (числа циклов). Эффект изменения прочности во времени называют старением. Если же рассматривать зависимость прочности от числа циклов нагружения, то такой эффект именуют износом. И, наконец, если оценивать прочность как функцию и числа циклов нагружения и величины нагрузок, то такой процесс называют накоплением повреждений.

Независимая случайная величина. Значения, последовательно принимаемые такой величиной во времени являются независимыми. Эта модель наиболее характерна для нагрузок действующих, в частности, на транспортные машины.

Ниже мы рассмотрим модели надежности с детерминированной продолжительностью циклов нагружения для различных категорий нагрузок и прочности. Мы будем рассматривать надежность как функцию числа циклов. При необходимости перехода к функции по времени, нужно воспользоваться известной продолжительностью (постоянной или переменной) циклов.