9.7.1. Модели надежности с детерминированной продолжительностью циклов

Случай 1. Нагрузка и прочность - детерминированные величины.

Если x_i и y_i - соответственно нагрузка и прочность в i-том цикле, то вероятность безотказной работы в течении n циклов очевидно будет равна

Случай 2. Нагрузка - постоянная величина, а прочность - фиксированная случайная величина.

Пусть нагрузка x=x₀=const, а прочность в i-том цикле y_i=y₀-a_i, где a_i- неубывающие во времени известные постоянные величины; y₀- случайная величина с плотностью распределения g(y₀). Тогда вероятность безотказной в течении n циклов будет равна

.

Вероятность безотказной работы в n-том цикле при условии, что изделие безотказно работало в предыдущих (n-1) циклах будет равна

.

Случай 3. Нагрузка - постоянная величина, а прочность - независимая случайная величина.

Пусть нагрузка x=x₀=const, а прочность в i-том цикле y_i -случайная величина с плотностью распределения g_i (y). Из независимости y_i в каждом цикле нагружения следует

,

где вероятность безотказной работы в i-том цикле нагружения вычисляется по формуле

.

Случай 4. Нагрузка - фиксированная случайная величина, а прочность - постоянная величина.

Этот случай похож на случай 2 если поменять нагрузку и прочность местами. Если положить, что нагрузка в i-том цикле x_i=x₀+b_i, где b_i известные постоянные для данного цикла и неубывающие по мере роста i величины, то вероятность безотказной работы в течении n циклов можно определить по формуле

,

где y₀=const - прочность; f₀(x₀) - плотность распределения нагрузки в начальный момент времени.

Случай 5. Нагрузка и прочность - фиксированные случайные величины.

Если предположить, что нагрузка не уменьшается с ростом числа циклов (как в случае 4), а прочность не возрастает (как в случае 2), можно получить следующее выражение для вероятности безотказной работы

,

Заметим, что если нагрузка и прочность не меняются от цикла к циклу, т.е. a_i=b_i=0, то последнее выражение приобретает вид уравнения 9.2, выведенного ранее в п.9.1.

Случай 6. Нагрузка - фиксированная случайная величина, а прочность - независимая случайная величина.

Пусть последовательные значения прочности y₁, y₂, . . . y_n - независимые случайные величины с плотностью распределения g(y) и интегральным законом распределения G(y), одинаковыми для всех величин. Вероятность безотказной работы в данном случае это вероятность того, что случайное значение нагрузки x зафиксированное в начальный момент не превысит значений прочности во всех n циклах нагружения. На самом деле это означает , что нагрузка не превысит минимальное из всех n значений прочности.

,

где y_min=min(y_1, y₂, . . .y_n) случайная величина, подчиняющаяся распределению экстремальных значений (распределение минимумов) с функцией распределения G_n=1-[1-G(y)]ⁿ. Полагая плотность вероятности нагрузки f(x), формулу для вероятности безотказной работы в течении n циклов можно записать в виде

Случай 7. Нагрузка - независимая случайная величина, а прочность - постоянная величина.

Это случай, обратный случаю 3. Из независимости x_i в каждом цикле нагружения следует , и вероятность безотказной работы в i-том цикле нагружения в данном случае вычисляется по формуле

.

Случай 8. Нагрузка - независимая случайная величина, а прочность - фиксированная случайная величина.

Этот случай похож на случай 6. Здесь по аналогии положим, что последовательные значения нагрузки x₁, x₂, . . . x_n - независимые случайные величины с законом распределения F(x), одинаковым для всех величин. Вероятность безотказной работы в данном случае это вероятность того, что случайное значение нагрузки x во всех n циклах нагружения не превысит случайного значения прочности, зафиксированного в начальный момент. На самом деле это означает , что максимальная из всех n значений нагрузка не превысит прочности.

,

где x_max=max(x_1,x₂, . . .x_n) - случайная величина, подчиняющаяся распределению экстремальных значений (распределение максимумов) с функцией распределения F_n=[F(x)]ⁿ. Полагая плотность вероятности прочности g(y), формулу для вероятности безотказной работы в течении n циклов можно записать в виде

Случай 9. Нагрузка и прочность - независимые случайные величины.

Пусть f_i(x), g_i(y) - плотности вероятности нагрузки и прочности в i-м цикле, тогда вследствие их независимости, вероятность безотказной работы в течении n циклов можно определить по формуле

,

где

Если плотности f_i(x) и g_i(y) не меняются от цикла к циклу, то , где R - вероятность безотказной работы, определяемая по формуле 9.2, выведенной в п.9.1.