Нагрузки

Глава 11. Нагрузки

Действующие нагрузки можно классифицировать по различным признакам. Мы в дальнейшем уделим внимание статическим и динамическим нагрузкам. При этом каждый вид будем разделять на детерминированные и случайные.

11.1. Статические нагрузки

Нагрузку можно считать статической, если можно пренебречь ее изменением во времени при моделировании процессов поведения конструкции под действием этой нагрузки. Статические нагрузки на транспорте связаны с действием сил тяжести, тяги, торможения.

Статическая нагрузка может быть рассмотрена как случайная или как детерминированная. Нагрузку можно считать детерминированной если ее коэффициент вариации (отношение стандартного отклонения к математическому ожиданию) намного меньше единицы

 = S/ << 1.

Однако такое определение очевидно не является строгим и поэтому возможны ситуации, когда несмотря на небольшой коэффициент вариации следует учитывать случайный характер действующих нагрузок особенно в тех случаях, когда эти нагрузки очень близки к предельно допустимым.

Для случайных статических нагрузок часто бывает нужно учесть их взаимосвязь. Это может оказать существенное влияние на результаты расчетов. Для двух нагрузок X и Y это можно сделать с помощью коэффициента корреляции, статистическая оценка которого может быть выполнена по формуле

.

В случае анализа k случайных величин, необходимо определить матрицу корреляционных коэффициентов [ _ij ], i,j = 1,2, . . . ,k.

Пример 11.1 Требуется определить вероятность безопасной работы консольной балки для двух случаев нагружения случайными нормально распределенными нагрузками, показанными на рисунке.

Y­_a P

а ) X_a _p = 40 кН, S_p = 8 кН;

Y_b

б ) X_b _xb = 20 кН, S_xb = 4 кН;

_yb = 34,64 кН, S_yb = 6,93 кН.

L

При этом в случае а) действует одна сила P , горизонтальная составляющая которой X­_a = 0,5 P, а вертикальная составляющая Y_a = 0,866 P. В случае б) действуют две независимые силы X_b и Y_b. Допускаемые напряжения [] = 79 кН/см².

Решение. Определяем математическое ожидание и стандартное отклонение для горизонтальной и вертикальной составляющих нагрузки в случае а).

_xa = 0,5_p = 0,5 ^. 40 = 20 кН, S_xa = 0,5 S_p = 0,5 ^.8 = 4 кН;

_ya = 0,866_p = 0,866 ^. 40 = 34,64 кН, S_ya = 0,866 S_p = 0,866 ^.8 = 6,93 кН.

Таким образом, эти составляющие совпадают по величине с нагрузками для случая б). Отличие лишь в том, что для случая а) коэффициент корреляции  = 1, а для случая б)  = 0.

Максимальные нормальные напряжения будут в заделке.

 = X/F + Y^. L/W.

Полагая геометрические параметры неслучайными и равными единице F=L=W=1, получим  = X + Y. Применяя формулы для суммы случайных нормально распределенных величин, определим математическое ожидание и стандартное отклонение напряжения для двух случаев нагружения балки.

а) _ = _xa + _ya = 20 +34,64 = 54,64 кН/см²;

S_² = S_x² + 2S_x S_y + S_y² = 4² + 2^. 1^. 4^. 6,93 + 6,93² = 119,46 или S_ =10,93 кН/см².

б) _ = _xa + _ya = 20 +34,64 = 54,64 кН/см²;

S_² = S_x² + 2S_x S_y + S_y² = 4² + 6,93² = 64,0 или S_ =8,0 кН/см².

Определяем вероятность безотказной работы.

а) z = ([] - _)/ S_ = (79- 54,64)/10,93 = 2,23, R_a = P(Z<2,23) = Ф(2,23) = 0,9871;

b) z = ([] - _)/ S_ = (79- 54,64)/8,0 = 3,04, R_b = P(Z<3,04) = Ф(3,04) = 0,9988.

Если же судить о прочности по коэффициенту запаса, то для обоих вариантов нагружения он будет одинаковым

k = []/_ = 79/54,64 = 1,44.