11.2.2. Анализ процесса в частотной области

Понятия узкополосности и широкополосности процесса, о которых упоминалось выше, связаны с его спектральным составом, т.е. с распределением энергии процесса по частотам. Если реальный случайный процесс рассматривать как суперпозицию бесконечного количества гармоник, каждая из которых имеют свою частоту и амплитуду, то чем больше амплитуда какой либо составляющей, тем выше энергия приходится на частоту этой составляющей процесса. Распределение энергии по частотам (по спектру частот) процесса характеризуется функцией спектральной плотности C().

Типичный вид функций спектральной плотности для различных случайных процессов представлен на рис.11.2.

Рис.11.3. Виды спектральных функций

Заметим, что общий вид спектральной плотности гармонического процесса и случайного процесса с постоянной частотой, но случайной амплитудой и фазой совпадают и представляют собой линию. На графиках рис.11.3. представлены спектральные функции для >0.

Важными свойствами спектральной плотности являются:

1. С_x() является положительной вещественной величиной.

2. С_x() - четная функция частоты , т.е. С_x(-)=С_x().

3. , т.е. спектральная плотность стационарного процесса представляет собой преобразование Фурье от корреляционной функции (соотношение известно под названием формулы Винера-Хинчина).

В свою очередь, учитывая однозначность преобразования Фурье, корреляционную функцию стационарного случайного процесса можно получить путем применения обратного преобразования Фурье к функции спектральной плотности

.

Полагая в этой формуле =0 и учитывая, что K_x(0)=D_x получим:

,

т.е. интеграл от спектральной плотности равен дисперсии стационарного случайного процесса, а саму функцию спектральной плотности можно интерпретировать как распределение дисперсии процесса по частотам.

Примечание. Иногда для спектральной плотности применяют другую формулу, при которой C_x()=1/2 C_x() и K_x()=2 K_x().

Пример 11.1. Рассмотрим случайный процесс с постоянной спектральной плотностью известный под названием «белый шум». Для этого процесса характерно равномерное распределение энергии по всем частотам от 0 до . Разумеется, реально такой процесс существовать не может, т.к. он должен обладать бесконечной энергией (дисперсией). Однако понятие «белый шум» является удобной моделью для тех случаев, когда спектральная плотность процесса примерно постоянна в интересующем нас диапазоне частот.

Пусть стационарный случайный процесс имеет постоянную на интервале [0,₁] функцию спектральной плотности, рис.11.4

где c_x() = C_x()/D_x - нормированная функция спектральной плотности.

Рис.11.4. Нормированная спектральная

плотность

Найдем корреляционную функцию этого «усеченного белого шума» .

.

График нормированной корреляционной функции представлен на рис. 11.5.

Рис.11.5. Нормированная корреляционная функция «усеченного белого шума»

Заметим, что при ₁ мы получим белый шум, нормированная корреляционная функция которого равна нулю при всех  кроме точки =0 , где она равна 1. Это означает, что для белого шума полностью отсутствует корреляция между временными сечениями процесса.