24. Дифференциальная и интегральная функции Гаусса.

Когда npq>9: Теорема: предположим, что 0<p<1, тогда x_k=(k-np)/npq; |x_k|<=C=const. p_n(k)=C_n^kp^kq^n-k; n: p_n(k)=(1/2)(1/npq)e (1+_n(k)); |_n(k)|<=C/n; Пусть (x)=(1/2)e , тогда p_n(k)(1/npq)(x_k). Ф-ция (x) назыв. дифференц. ф-цией Гаусса: (x)=(1/2)e . p_n(k₁,k₂)=_k=k1^k2p_n(k).

Теорема: _n – Бернулиевская случ. величина, _n{0,1,2,…,n}; p{_n=k}=p_n(k); E_n=np; D_n=npq; =D_n=npq; Пусть -<a<=b<, тогда при n вер-ть того, что a<=(_n-np/npq)<=b стремится к: (1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx, т.е.: p{a<=(_n-np/npq)<=b}(1/2)_a^be dx=_a^b(x)dx. Ф(x)=(1/2)_-^xe dt=_-^x(t)dt, где Ф(x) – интегральная ф-ция Гаусса. (x)=Ф’(x)(производная от интегр. ф-ции). Выразим _a^b(x)dx через Ф(x): график интегр. ф-ции Гаусса:

_a^b(x)dx=_-^b(x)dx-_-^a(x)dx=Ф(b)-Ф(a). Интегральная теорема Муавра-Лапласа может быть записана так (через интегральную ф-цию Гаусса): Ф(b)-Ф(а). p{a<(_n-np/npq)<=b}Ф(b)-Ф(а). Применим теорему к вычислению суммы: p{k₁<=_n<=k₂}=_k=k1^k2C_n^kp^kq^n-k=p{(k₁-np/npq)<= (_n-np/npq)<= (k₂-np/npq)}Ф((k₂-np/npq))-Ф((k₁-np/npq)). Значения интегральной ф-ции Гаусса (дифференц. ф-ции Гаусса) при всех допустимых значениях аргумента X можно найти в любом учебнике по теорверу.

25. Закон больших чисел в схеме Бернулли.

26. Непрерывные случайные величины. Свойство плотности распределении.

Плотность распределения (плотность вероятности) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения:

Основные св-ва плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x)>=0

2. Условие нормировки: _-^+f(x)dx=1

3. Вероятность попадания случайной величины Х на произволдьный участок [a,b[ равна: p{a<=X<b}=_a^bf(x)dx

4. Функция распределения F(x) случайной величины Х выражается через ее плотность: F(x)=p{X<x}=p{-<X<x}=_-^xf(x)dx

27. Равномерное распределение.

Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале [a,b] постоянна, т.е. если все значения Х в этом интервале равновероятны:

Числовые хар-ки равномерно распределенной СВ: m_X=(a+b)/2; D_X=(b-a)²/12

28. Нормальное распределение.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если е плотность вероятности и функция распределения равны:

, где m, – параметры распределения (>0),

- ф-ция Лапласа.

Значения функции Лапласа приведены в специальной таблице. При использовании таблицы значений ф-ции Лапласа учитывать, что Ф(-x) = -Ф(x), Ф(0)=0, Ф()=0.5.

Числовые хар-ки нормальной СВ:

29. Показательное распределение.

Показательным (экспонтециальным) называют распределение вер-тей непрерывной случайной величины Х, кот. описывается плотностью ,где -постоянная положительная величина. Видно, что показат. распредел. определ. одним параметром . Найдем ф-цию распределения показательного закона: Итак: . Графики плотности и функции распределения показательного закона:

Найдем вер-ть попадания в интервал (а,b) непрерывной случайной величины Х, кот-ая распределна по показательному закону, задонному ф-ией распределения: F(x)=1-e^-x(x0). Используем формулу Р(аХ b)=F(b)-F(a). Учитывая, что F(a)= 1-F(b)= 1-e^-b, получим: Р(аХ b)= e^-а- e^-b. Значение ф-ии e^-х находится по таблице.

Числовые хар-ки показательного распределения: Пусть непрерывная случ величина Х распределена по показательному закону: .Найдем математическое ожидание. . Интегрируя по частям, получим М(Х)=1/. Т.О.математическое ожидане показат. распределения равно обратной величине парам-ра . Найдем Дисперсию . Интегрируя по частям, получим ,следовательно D(X)=1/². Найдем среднеквадратическое отклонение для чего извлечем квадратный корень из дисперсии: (Х)=1/2.математич ожидание и среднее квадратич отклонение показат распределения равны между собой.

30. Распределение Коши.!!! Случайная величина  имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:

У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка.