1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики

классическое определение вероятности.

Для поставим в соответствие действительное неотрицательное число р(А), которое будем называть вероятностью события А.

Определим классическое вероятностное пространство. Пусть - конечное множество. Пусть , а . Возьмём некоторое случайное событие А, которое получено путём объединения . Если все элементарные события равновозможны, то естественно предположить, что вероятность события А пропорциональна числу элементарных событий, которые оно объединяет, т.е. . Коэффициент пропорциональности р можно найти из условия, что (*). Т.е. вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих элементарных события событию А к общему числу всех элементарных событий.

Условие называется условием нормировки.

Говорят, что определена вероятностная модель, если определено множество элементарных событий и на этих элементарных событиях определена функция .

Для рассматриваемого выше случая вероятностная модель выглядит следующим образом: . Т.е. для каждого элементарного события вероятность равна .

Данная вероятностная модель называется классической, а пара элементов наз. классическим вероятностным пространством.

Классическая вероятностная модель определяет классическое вероятностное пространство. Для него:

1) множество элементарных событий конечно;

2) вероятности элементарных событий одинаковы.

В классической модели определение вероятности определяется следующим образом: определяется число элементарных событий, определяющих пространство , затем находится число элементарных событий, составляющих интересующее событие А, и находится отношение второго к первому – это и есть вероятность события А.

Элементы комбинаторики.

Для подсчёта чисел n и N из формулы (*) применяются элементы комбинаторики. Основной принцип комбинаторики заключается в следующем: если некий выбор А можно осуществить n способами, а выбор В – m способами, то выбор А и В можно осуществить способами, а выбор А или В – способами.

При решении задач в теории вероятности часто используются понятия размещение, сочетание, перестановка.

Определение. Если дано некоторое множество , то размещением n элементов по k называется любое упорядоченное подмножество из k элементов множества . Соответственно, сочетанием из n элементов по k называется любое неупорядоченное подмножество из k элементов множества . При размещение называется перестановкой из k элементов.

Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Размещения отличаются друг от друга либо одним элементом, либо порядком их следования.

Число сочетаний находится по формуле .

Число размещений находится по формуле .

Геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности является расширением понятия классической вероятности на случай несчётного множества элементарных событий. В случае, когда является несчётным множеством, вероятность определяется не на элементарных событиях, а на их множествах. Пусть равновозможные элементарные события w являются точками ограниченного множества n-мерного Евклидова пространства , имеющего меру Лебега .

Рассмотрим систему измеримых по Лебегу подмножеств множества . Для любого случайного события  вероятность определяется по формуле .

Под мерой в частном случае понимается: длина отрезка (если ), площадь (если ), объём (если ).

Свойства меры Лебега: мера Лебега – это действительная, неотрицательная, счётно-аддитивная функция множеств, для которой:

1) 3) если

2) 4) , то

Недостатки геометрического определения вероятности:

1. мера пространства должна быть ограниченной;

2. все элементарные события должны быть равновероятны.

Пример.

Автобус №4 идет в данном направлении с интервалом в 10 минут. Студент приходит на остановку в случайный момент времени. Найти вероятность того, что студент будет ждать не более 1 минуты.

состоит из точек интервалов длительностью 10 минут. Определим . Событие А = {студент ожидает автобус не более 1 минуты}.  будет состоять из точек интервала, отстоящего от конца десятиминутного интервала не более, чем на 1 минуту.

.