Тема 3. Линейные пространства

Определение. Непустое множество L называется линейным (векторным) пространством над полем действительных чисел R, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на чис-ло, то есть для любых элементов и выполняется:

1. , причем

1. сложение коммутативно, ;

2. сложение ассоциативно, ;

3. существует нулевой элемент такой, что

;

4. для любого существует такой противоположный элемент , что .

1. , причем

1. умножение на число ассоциативно, ;

2. .

2. Связь между I и II, причем

1. умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов, ;

2. умножение на векторы дистрибутивно относитель-но чисел, .

Элементы линейного пространства называются точками или векторами. Операции над элементами: сложение (I) и умно-жение на число (II) – называются линейными.

Пример 3.1

1. Рассмотрим множество матриц. Будем считать строки матрицы векторами, соответственно матрицу-строку будем назы-вать вектор-строкой, а матрицу-столбец – вектор-столбцом. Пусть L – множество матриц одной размерности, А, В Î L, l Î R, тогда

I. .

II. .

Для введенных линейных операций выполняются все дополни-тельные требования при условии, что нулевым элементом является нулевая матрица. Таким образом, множество квадратных матриц образует линейное пространство над полем действительных чисел.

2. Векторы на плоскости как направленные отрезки с операци-ями сложения и умножения на действительное число образуют дву-мерное линейное пространство над множеством действительных чисел.

Базис линейного пространства

Определение. Выражение вида , где и , , называется линейной комбина-цией векторов , , …, над полем действительных чисел.

Определение. Совокупность (система) векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , одновременно не равные нулю, для которых выполняется соотношение

.

Если это равенство выполняется только в том случае, ког-да все коэффициенты , то система векторов называется линейно независимой.

Определение. Линейное пространство называется n-мерным (размерности n), если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые его (n+1) элементов – линейно зависимы.

Определение. Базисом системы векторов – n-мерного линейного пространства называется такая ее часть , , …, , которая удовлетворяет следующим условиям:

1. , , …, – линейно независимая система векторов;

2. любой вектор системы является линейной комбинацией линейно независимых векторов , , …,

Теорема 3.1. Каждый вектор системы единственным образом раскладывается по векторам ее базиса.

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Определение. Пусть задано линейное пространство L. Преобразованием A этого пространства называется закон, по которому каждому вектору соответствует вектор , то есть .

Преобразование A называется линейным, если для любых элементов и любого числа l справедливы равенства:

1. ;

2. .

Если L – 3-мерное пространство (L³), в котором выбран некоторый базис, то связь между координатами вектора (прообраза) и координатами вектора (образа) определяется системой:

или в матричной форме:

где , , .

Матрица A называется матрицей линейного преобразования.

Определение. Всякий ненулевой вектор называется соб-ственным вектором линейного преобразования A, если найдется число l такое, что выполняется равенство

. (6)

Число l называется собственным значением линейного преобразования A, соответствующим собственному вектору , .

Если в пространстве L³ задан некоторый базис, то равенство (6) может быть записано в матричной форме:

(7)

Всякий ненулевой столбец, для которого выполняется равенство (7), называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению l.

Так как , где E – единичная матрица, то уравнение (7) можно записать в виде:

.

Перейдя к координатной форме записи, будем иметь:

где – координаты собственного вектора X, .

Для отыскания собственных векторов необходимо найти ненулевые решения системы, которые существуют тогда и толь-ко тогда, когда определитель системы равен нулю, то есть

(8)

или

Уравнение (8) называется характеристическим уравнением матрицы А, его корни , , – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.

Пример 3.2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Найдем собственные значения матрицы A, для этого составим характеристическое уравнение После вычисления определителя и приведения подобных получаем квадратное уравнение Найдем его корни.

Если задано квадратное уравнение и его дискриминант , то корни уравнения опреде-ляются по формуле . В нашем случае ,, .

Определим собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям. При получим систему, решение которой определяет собственный вектор

Þ Þ

тогда

При получим систему, решение которой определяет собственный вектор .

Þ Þ

тогда .

Ответ: , , , .