Эквивалентные функции

Определение. Если и – бесконечно малые при и , , то функции и называются бесконечно малыми одного порядка, если же , то говорят, что – бесконечно малая более высокого порядка, чем при . Если , т. е. , то функции и называются эквивалентными бес-конечно малыми при и обозначаются: ~

Определение. Функция называется бесконечно малой порядка n по сравнению с функцией , если

, , .

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин ()

1)	;	6)	~;
2)	~;	7)	~;
3)	~, , ;	8)	~, , ;
4)	~;	9)	~;
5)	~;	10)	~, .

Рассмотрим примеры вычисления пределов с использованием бесконечно малых величин.

Пример 8.12. Вычислить:

Отметим в заключение, что при вычислении пределов нужно комбинировать различные приемы и методы. Для рас-крытия неопределенностей вида и также применяется правило Лопиталя, использующее аппарат дифференцирования функций (тема 9).

Непрерывность функции

Определение. Если в определении предела функции при , (или ), то говорят, что имеет место предел слева (или предел справа), который обозначается (или ). В этом случае говорят об односторонних пределах.

Теорема 8.5. Для того чтобы существовал предел функции при необходимо и достаточно, чтобы (то есть односторонние пределы совпадают).

Пример 8.13. Вычислить односторонние пределы в точке функции .

Решение. ,

. Так как , то предел функции при не существует.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие условия:

1. функция определена в точке , то есть существует значение этой функции в данной точке, равное ;

2. односторонние пределы этой функции существуют, равны между собой и совпадают со значением функции в дан-ной точке, то есть

Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Отметим важные теоремы о непрерывности функций.

Теорема 8.6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Теорема 8.7. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма, разность, произведение и частное (если существует или ) также являются непрерывными функциями.

Теорема 8.8. Если функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Классификация точек разрыва

Если в точке нарушается какое-либо условие непрерывности функции, то точка называется точкой разрыва функции.

Разрыв 1-го рода. Точка разрыва называется точкой разрыва 1-го рода функции , если односторонние пре-делы , существуют, конечны, а разность , , называется скачком функции в точке . Точка разрыва 1-го рода, в которой скачок функции равен 0 (), называется точкой устранимого разрыва.

Разрыв 2-го рода. Точка разрыва называется точ-кой разрыва 2-го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов , не существует или равен .

Пример 8.14. Классифицировать точки разрыва функции: 1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Функция определена для всех действи-тельных х, за исключением точки . В этой точке наруша-ется первое условие непрерывности. Значит, точка явля-ется точкой разрыва. Вычислим односторонние пределы:

;

.

Таким образом, точка – точка устранимого разрыва.

2) Так как функция не определена в точке , то вычислим односторонние пределы функции в окрестности этой точки:

, .

Поскольку пределы существуют, конечны, но не равны между собой, то точка – точка разрыва 1-го рода.

3) Точка является точкой разрыва 2-го рода, так как:

, ,

,

.

Примеры 8.15. Исследуем на непрерывность следующие функции:

1) ; 2)

Решение. 1) Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , значит, как элементарная функция, она всюду непрерывна в области определения. Исследуем функцию на непрерывность в точке :

; .

Точка – точка разрыва 2-го рода. График этой функции имеет следующий вид (рис. 8.5).

2) Функция определена на всей числовой оси, однако для разных промежутков функция задана различными уравнениями, причем в каждом из промежутков функция является непрерывной, поэтому разрывы могут быть только на границах промежутков. Итак, подозрительными на разрыв будут точки и .

Рассмотрим точку .

; ; .

Так как и конечны, значит, точка – точка разрыва 1-го рода.

Рассмотрим точку .

; ; .

Имеем: . Значит, в точке функция непрерывна.

Построим график этой функции (рис. 8.6). В точке принимает значение, равное 1 (на рис. 8.6 изображено точкой).

Рис. 8.5

Рис. 8.6