Основные теоремы о пределах

Если существуют и , то справедливы следующие теоремы:

1. , ;

2. ;

3. ;

4. , ().

Вычисление пределов

При вычислении пределов функции необходимо в выражение, стоящее под знаком предела, вместо переменной подставить ее предельное значение. При этом возможны два варианта:

1. Проведение необходимых вычислений позволяет полу-чить определенное число (в частности, ноль) или бесконечность, что и является ответом.

2. В результате подстановки предельного значения пере-менной получаются неопределенные выражения, символические обозначения некоторых из них имеют вид , , , , , , и др. В этом случае для получения результата нужно эти неопределенные выражения «раскрыть» (то есть исключить неоп-ределенность) либо показать, что предела не существует.

Замечание. При вычислении пределов функций полезно помнить, что по определению ()

;	;
;	;
;	;
;	;

Пример 8.7. Вычислить:

1. ;

2. ;

3. 

Замечание. Символическая запись (, где – б.м. при ), стоящая под знаком предела, означает деление не на ноль, а на число, стремящееся к нулю, так и (, – б.б. при ) – это не деление на бесконечность, а деление на число, стремящееся к бесконечности, при этом и .

Теперь рассмотрим методы раскрытия различных видов неопределенностей.

Неопределенность вида . При вычислении пределов отношения многочленов с неопределенностью при определяют старшую степень переменной x для числителя и знаменателя и делят числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на x в этой степени.

Пример 8.8. Вычислить:

1. 

;

2. ;

3. 

.

Неопределенность вида . При вычислении пределов отношения многочленов с неопределенностью при необходимо при помощи алгебраических преобразований пред-ставить эти многочлены в виде произведения сомножителей, одним из которых будет ().

Пример 8.9. Вычислить:

1. 

;

2. 

;

3. 

.

Первый замечательный предел

Теорема 8.4. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице, то есть

.

Этот предел называется первым замечательным пределом.

Легко показать (покажите), что имеют место следующие пределы:

, если .

Пример 8.10. Вычислить:

1. 

;

2. 

.

Второй замечательный предел

Так называется предел

,

где число e нами определено как предел последовательности (см. пример 8.6).

Обычно или следствие из него используется для раскрытия неопределенности вида .

Очевидно, что структура предела предполагает, чтобы основание степени было представлено в виде , где , а показатель степени должен быть величиной, обрат-ной к .

Пример 8.11. Вычислить:

1. 

;

2. 

.