
- •С.А. Иванова, в.А. Павский Математика
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Тема 10. Исследование функции 145
- •Введение
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных неравенств
- •Тема 3. Линейные пространства
- •Базис линейного пространства
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры Векторы
- •Линейные операции над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •Базис системы векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Cвойства скалярного произведения
- •С помощью скалярного произведения находят
- •Векторное и смешанное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения
- •Свойства смешанного произведения
- •Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости Система координат на плоскости
- •Уравнение линии на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Тема 6. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Деление отрезка в данном отношении
- •Тема 8. Функции. Теория пределов Понятие функции
- •Способы задания функции
- •Графический
- •Элементарные функции
- •Задание функций в полярной системе координат
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства бесконечно малых
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •О сжатой последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Эквивалентные функции
- •Непрерывность функции
- •Классификация точек разрыва
- •Тема 9. Дифференциальное исчисление Определение производной
- •Геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования, таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Производные сложной и обратной функций
- •Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Геометрические приложения производной
- •Дифференциал функции
- •Основные свойства дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Теоремы о дифференцируемости функции
- •Правило Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Тема 10. Исследование функции Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Вогнутость и выпуклость функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Заключение
- •Задания для самостоятельной работы
- •Список литературы
- •Математика
- •Часть 1 Нач. Редакции а.С. Обвинцева
- •650010, Г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52
Тема 6. Кривые второго порядка
Рассмотрим
плоскость
.
К кривым 2-го порядка относятся линии,
описываемые многочленом от двух
пере-менных, максимальная степень
которого равна двум, то есть
,
.
Окружность
Окружностью
называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от некоторой
фиксированной точки
,
называемой ее центром.
Допустим, точка
лежит на данной окружности, то расстояние
СМ
равно некоторому числу R,
называемому радиусом этой окружности:
– уравнение
окружности
с центром в точке
и радиуса R.
Пример
6.1.
Найти центр и радиус окружности
.
Решение.
Выделим
полный квадрат по каждой перемен-ной,
данное уравнение можно записать в виде:
или
Следовательно,
это окружность с центром в точке
и радиусом
.
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плос-кости, для которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Выведем
уравнение эллипса. Пусть
и
– фокусы (рис. 6.1). Положим
.
Декартову систему координат зададим
следую-щим образом:
ось Ox
направим по прямой
,
а начало поместим
в середину отрезка
.
Тогда
,
.
Пусть
– произвольная точка эллипса. Тогда
,
где величина a
дана, причем
.
Имеем:
Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:
.
Рис. 6.1
Упростим последнее
равенство: перенесем второе слагаемое
в правую часть и возведем обе части в
квадрат, получим
,
после раскрытия скобок и приведения
подобных останется:
Разделим
полученное равенство
на четыре, возведем обе части еще раз в
квадрат:
и
преобразуем
.
После приведения подобных получим:
,
.
Обозначим
и разделим обе части последнего равенства
на эту величину:
– каноническое
уравнение эллипса
с полуосями
,
и центром симметрии в точке
.
Число
a
в уравнении эллипса называется большой,
а b
– малой полуосью эллипса. Прямую, на
которой расположены фокусы эллипса,
называют фокальной
осью.
Величина
называется эксцентриситетом
эллипса, а прямые
называются директрисами
эллипса.
Пример
6.2.
Доказать, что уравнение
определяет эллипс.
Решение.
Преобразуем уравнение, выделив полные
квадраты по каждой переменной,
Введем
новые переменные
,
.
Тогда
или
.
Последнее
уравнение определяет эллипс с центром
в точке
причем
,
.
Гипербола
Гиперболой
называется
геометрическое множество точек плоскости,
для которых абсолютная величина разности
расстояний до двух данных точек
и
этой плоскости, называемых фокусами,
есть величина постоянная, меньшая, чем
расстояние между фокусами.
Выведем уравнение
гиперболы. Положим
.
Систему координат (рис. 6.2) выберем так
же, как и в случае эллипса. Тогда
,
а
.
Если
– произвольная точка гиперболы, то
,
a
– постоянная,
.
Это уравнение соответствует определению
гиперболы. Преобразуя его, как и в случае
эллипса, и положив
,
получим каноническое
уравнение гиперболы:
.
Рис. 6.2
Гипербола – кривая,
симметричная относительно осей и начала
координат. Прямые
являются асимптотами
гиперболы, величина
называется эксцентриситетом
гиперболы,
,
а прямые
– ее директрисами.