Уравнение прямой на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид , где A, B, C – произвольные числа, причем A и B одновременно не равны нулю. Рассмотрим некоторые част-ные случаи прямой.

1. А и B отличны от нуля, то прямая, определяемая уравнением , проходит через начало координат.

2. B и C отличны от нуля, то прямая, определяемая уравнением или параллельна оси Ox.

3. A и C отличны от нуля, то прямая, определяемая уравнением или параллельна оси Оу.

4. , то прямая, определяемая уравнением , совпадает с осью Оу.

5. , , то прямая, определяемая уравнением , совпадает с осью Ox.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно вектору. Произвольная точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору , и, значит, скалярное произ-ведение этих векторов будет равно нулю:

– координатная форма уравне-ния прямой, проходящей через заданную точку пер-пендикулярно вектору . Подчеркнем, что в общем уравнении прямой вектор, составленный из коэффициентов определяет перпендикулярный вектор к данной прямой.

Если , то при , общее уравне-ние прямой перепишется в виде, разрешенном относительно y: . Получили уравнение прямой с угловым коэффициентом. Величина k равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, а величина b по модулю равна длине отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору. Вектор , лежащий на исходной или параллельной ей прямой, называется направля-ющим вектором этой прямой.

Произвольная точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда вектор параллелен век-тору и, значит, их координаты пропорциональны, то есть

. (11)

Уравнение (11) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Замечание. Каноническая форма уравнения прямой – символическая. Допускается запись, например, . Переходя к привычной форме, будем иметь , то есть прямая параллельна оси Ox.

Теперь предположим, что коэффициент пропорциональности ра-вен t, то есть Выражая отсюда переменные x, y, получим параметрическое уравнение прямой:

В частности, если прямая проходит через точки и то в качестве вектора можно взять вектор поэтому равенство (11) запишется в виде:

–

– уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть прямая задана своим общим уравнением . Найдем расстояние от точки до прямой. Пусть – произвольная точка прямой, тогда проекция вектора на вектор нормали к прямой и будет требуемым расстоянием:

,

так как .

Расстояние d от точки до прямой равно

.

Пример 5.2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси Oy.

Решение. В качестве направляющего вектора можно взять орт . Подставив данные в каноническое уравнение прямой (11), получим: . От канонического уравнения прямой обычно переходят к общему: или .

Пример 5.3. Даны вершины треугольника АВС: , . Найти: 1) уравнение стороны AB; 2) уравнение и длину высоты CD, опущенной из вершины C на сторону AB; 3) уравнение медианы AE.

Решение. 1) Уравнение прямой AB через две заданные точки будет иметь вид: ; или .

2) Высота CD перпендикулярна стороне AB, а потому век­тор , составленный из коэффициентов уравнения пря­мой АВ, перпендикулярен прямой АВ и параллелен высоте CD. Чтобы найти уравнение прямой CD, подставим в уравнение (11) координаты точки и направляющего вектора : или .

Длину высоты найдем по формуле расстояния от точки до прямой AB ():

3) Определим координаты точки E с помощью формул деления отрезка пополам [2]: , . Используя координаты вершин B и C, получаем: ; ;

По точкам A и E построим уравнение медианы , после упрощения которого получим .