Cвойства скалярного произведения

1. ;

2. ;

3. ;

4. при ;

5. скалярное произведение двух векторов, заданных де-картовыми прямоугольными координатами, равно сумме про-изведений одноименных декартовых координат, то есть если и , то

.

Действительно, так как , , – единичные и ортогональные меж-ду собой векторы, тогда , и по свойствам 1–4 скалярного произведения получаем:

Замечание. Свойство 5 в прямоугольной системе координат можно принять за определение скалярного произведения.

С помощью скалярного произведения находят

1. длину вектора :

2. расстояние d между точками и

3. проекцию одного вектора на направление другого вектора :

4. косинус угла между векторами: , где j – угол между векторами и

5. координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами:

, , .

Пример 4.3. Найти такое число l, для которого векторы и ортогональны.

Решение. Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, поэтому

, получили линейное алгебра-ическое уравнение относительно l, отсюда или , то есть при векторы и будут ортогональны. В самом деле, имеем .

Пример 4.4. Найти углы и длины сторон треугольника с вершинами .

Решение. Определим координаты векторов: , , , так как угол A образован векторами и , то

.

По таблицам находим

.

Аналогично , значит, – прямой. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то . Длины сторон – это длины соответст-вующих векторов, поэтому:

; ; .

Пример 4.5. Найти скалярное произведение векторов и , если , , а угол между векторами и равен 60°.

Решение. Выполним последовательные действия:

.

Векторное и смешанное произведение векторов

Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется третий вектор , обозначаемый или и удовлетворяющий следующим условиям:

1. вектор ортогонален каждому из векторов и , то есть перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти векторы;

2. если векторы , , отложены от одной точки O, то с конца вектора поворот от вектора к вектору на меньший угол осуществляется против часовой стрелки (в этом случае тройка , , называется правой);

3. , где j – угол между векторами и .

Если векторы и коллинеарны, то полагают .

Свойства векторного произведения

1. ;

2. ;

3. ;

4. величина модуля векторного произведения двух неколлинеарных векторов равна площади параллелограмма, постро-енного на векторах и ;

5. координаты векторного произведения векторов и заданных координатами, можно найти следующим образом:

.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение первого из них и векторного произведения второго и третьего. Обозначается смешанное произведение или просто .

Свойства смешанного произведения

1. – то есть пере-становка двух соседних векторов местами ведет к смене знака смешанного произведения;

2. модуль смешанного произведения трех неком-планарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на век-торах , , (при этом , если тройка , , – правая и если тройка векторов – левая);

3. если векторы , , заданы координатами, то

4. три вектора , , лежат в одной плоскости (компланарны) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Пример 4.6. Найти площадь треугольника АВС с верши-нами , , .

Решение. Воспользуемся свойством 4 векторного про-изведения: площадь треугольника равна половине площади па-раллелограмма, построенного на векторах и Вычислим их векторное произведение, имеем:

.

Площадь треугольника ABC равна половине величины этого векторного произведения:

кв. ед.

Пример 4.7. Найти объем тетраэдра, вершинами которого являются точки , , ,

Решение. Объем тетраэдра составляет шестую часть объема парал-лелепипеда, построенного на векторах , и Найдем смешанное произведение этих векторов:

Таким образом, объем тетраэдра равен куб. ед.