1.3.2. Теорема Фостера о сопротивлении реактивного двухполюсника

Комплексное сопротивление реактивного двухполюсника можно представить функцией, выраженной через ее нули и полюса (резонансные частоты):

(1),

где Н – некоторый множитель, положительное вещественное число;

ω – угловая частота;

ω_к – резонансные частоты (математически нули и полюсы). Принято в числителе использовать нечетные индексы (нули функции сопротивления ДП) в знаменателе четные (полюсы функции сопротивления ДП).

Из этой формулы можно получить частные случаи, соответствующие классам двухполюсников. Для классов 0 - ∞, 0 – 0 ω₁=0. Для классов ∞ - 0, ∞ - ∞ .

Производная по частоте всегда положительная:

Нули и полюсы всегда чередуются.

Старшая и младшая степени полиномов числителя и знаменателя отличаются не более, чем на единицу (нули и полюсы в начале и конце координат – простые).

Дробь (1) представляет собой либо отношение нечетного полинома к четному, либо четного к нечетному.

Множитель Н по своему смыслу соответствует эквивалентной индуктивности или величине, обратной эквивалентной емкости при .

1.3.3. Канонические схемы Фостера

Канонические схемы – стандартные схемы или схемы, построенные по определенному правилу.

Первая схема Фостера

Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: , далее- четным, а последние . Индексы показывают, на какой частоте происходит полюс у этого элемента или пары элементов.

Для анализа такой схемы удобно воспользоваться операторным сопротивлением:

(здесь четные индексы – полюсы функции сопротивления). Это выражение можно преобразовать в общую дробь:

(в числителе нечетные индексы в знаменателе четные). В знаменателе столько скобок, сколько параллельных контуров в схеме.

Класс реактивного двухполюсника здесь определяет только первая пара элементов (если есть оба элемента, то класс ∞ - ∞; нет ни одного 0 – 0; есть только индуктивность 0 - ∞; есть только емкость ∞ - 0). Пример графика для класса ∞ - ∞;

0

Существует правило для канонических схем: количество элементов в канонической схеме минимальное для получения заданной функции сопротивления (заданного количества резонансных частот, т.е. внутренних нулей и полюсов). Количественно их на единицу больше общего числа резонансных частот (внутренних нулей и полюсов). Также самая старшая степень полинома числителя или знаменателя равна количеству элементов. может равняться при ω→∞ ∞ или 0. При этом емкости заменяются перемычкой, индуктивности заменяются разрывом. Если = ∞, то в первой схеме Фостера и Н малая величина, если =0, то - большая величина. Тогда в первой схеме Фостера; при последовательном соединении с учетом схемы при ω→∞

Вторая схема Фостера

Эта схема дуальна первой схеме Фостера. Первые элементы обозначаются на схеме следующим образом: , далее- нечетным, а последние . Индексы соответствуют полюсам проводимости. Элементы определяют класс двухполюсника (если есть оба элемента, то класс двухполюсника , если нет обоих элементов, то и т.д.). Количество последовательных контуров соответствует количеству резонансных частот напряжения (или скобок в числителе - нулей сопротивления).

Здесь в общем виде удобно записать формулу проводимости:

(здесь индексы нечетные –нули функции сопротивления или полюсы проводимости)

Множитель находится аналогично во второй схеме Фостера. на основе схемы замещения при ω→∞. Если = ∞, то во вторвой схеме Фостера и Н малая величина, если =0, то - большая величина. Тогда во второй схеме Фостера; при последовательном соединении с учетом схемы при ω→∞