2.5 Выбор схемы arc-фильтра и расчёт его элементов.

Полученную в разделе 2.4 передаточную функцию заданного фильтра необходимо разложить на сомножители 1^-го и 2^-го порядков:

Сомножитель 1^-го порядка имеет вид:

а) для ФНЧ б) для ФВЧ

Сомножитель 2^-го порядка имеет вид: а) для ФНЧ-звена

б) для ФВЧ-звена в) для ПФ-звена

Требуемую добротность звена определим из формулы:

Теперь можно приступить к выбору схемы звена. Выбор схемы зависит от многих факторов, в том числе от величины добротности звена, от типа усилительного (активного) элемента.

При высоких значениях добротности можно применять звенья с двумя и более усилителями.

В литервткре представлен к рассмотрению большой выбор звеньев (НЧ, ВЧ и ПФ), где в качестве усилительных элементов используются ИНУН, ИНУТ.

Далее, для выбранной схемы звена необходимо получить выражение его передаточной функции, в которой коэффициенты определены через элементы схемы.

Пусть, например, для НЧ-звена .

Теперь для расчета элементов составляем систему компонентных уравнений, т. е. :

,

из которой определяем величины элементов рассматриваемого звена.

Так как число неизвестных в этой системе больше числа уравнений, необходимо задаться значениями некоторых из них.

После расчёта каждого звена составляем полную схему фильтра.

2.6. Расчёт рабочего ослабления фильтра.

Рабочее ослабление фильтра можно рассчитать по формуле :

, где .

Характерными частотами являются граничные частоты ПП, граничные частоты ПЗ.

В Приложении 3 в таблице 3.1 приведены варианты заданий по расчёту ARC-фильтров нижних, верхних и полосовых частот с аппроксимацией по Баттерворту (Б) и Чебышеву (Ч). В таблице 3.2 этого приложения приведены схемы ARC-звеньев, которые могут быть использованы для проектирования фильтров по вариантам задания.

Ниже приведены примеры расчётов некоторых типов фильтров.

Пример №1

Рассчитать ARC-фильтры с характеристикой Баттерворта.

Технические требования: f₂ = 4 КГц, f₃ = 8 Кгц, A=2 дБ, А_min=15 дБ, (_1,_)

1. По формулам (3.2), (3.3), (3.6) из [7] определяем порядок n фильтра и полюса передаточной функции P_k по методической разработке, указанной в [7] :

n=3; P₁=-0,547+j*0,947

P₂=-1,094

P₃=P₁^*= -0,547-j*0,947

2 . Аналитическое выражение нормированной передаточной функции (3.7) в [7]

3. Произведя денормирование T (p) и выполнить некоторые преобразования получим

4. Разложим T(p) на сомножители: T(p)=T₁(p)*T₂(p), где

Для первого сомножителя получаем звено НЧ 1 порядка,

R₀

C₀

для которого см. [1]

из уравнения, получим R₀▪C₀=3,639*10­^-5­

зададимся R₀=10⁵ Ом, тогда C₀=3,639*10^-5/10⁵=3,639*10^-10 Ф R₀=10⁵ Ом; C₀=364 пФ.

Для второго сомножителя выберем низкодобротное звено 2-го порядка, у которого в качестве усилителя используется ИНУН [1].(рис.1)

C₁

R₁ R₂

U₁ C₂ U₂

Рис.1

Методом узловых напряжений см.[4] зад. 15.26 или из табл. 3.1 [1] найдём его передаточную функцию:

Полагая R₁=R₂=R, C₁=C₂=C, получим

Система компонентных уравнений имеет вид:

Пример R=10­⁵ Ом, найдём C=364 пф; k=2.

5. Окончательная схема фильтра представлена на рис. 2

С

R R C R C

Рис. 2

Пример 2. Рассчитать ARC ФВЧ Чебышева, у которого f₂ = 4 КГц, f₃ = 2 КГц, A = 2 дБ, A_min = 15 дБ.

1. Переход к ФНЧП [7]. Пояснения и справочные данные есть в приложениях 1 и 2.

_p = 1, _3p = 2, A = 2 дБ, A_min = 15 дБ [7] стр. 5-6

2. По формулам (3.2), (3.11), (3.14), (3.15) и [7] находим:

n=2; P₁ = -0,9256 + j1,164

P₂ = -0,9256 - j1,164=P₁^*

3. Произведём замену

4. Произведём деноминирование по граничной частоте ПП

f₂ = 4 КГц

4. Полученной передаточной функции 2-го порядка можно подобрать звено ARC 2-го порядка.

Активный элемент - ИНУН по схеме рис. 3.

R₁

C₁ C₂

R₂ Рис. 3

Передаточная функция такого звена имеет вид

, где из таблицы 3.2 [1]

b₂ = C₁C₂R₁R₂

b₁ = (C₁+C₂)R₂-C₁R₁(k-1)

h₀ = k

Полагая C₁=C₂=C и R₁=R₂=R

b₂ = C²R² ; b₁=RC(3-k)

Из системы компонентных уравнений, задавшись R=10⁵ Ом

Найдём C и k.

Пример 3.

Рассчитать ПФ – ARC, выделяющий с ослаблением А = 2дБ вторую гармонику из спектра частот, показанного на рис. 4.

6 U_m,В A

4

2

f, кГц f

2 4 6 8 f3’ f2’ f0 f2 f3

Положим f₀ = 4 кГц

Т.к. частоты первой и третьей гармоники должны находиться в полосе задерживания, округляем граничные частоты ПЗ f₃’ f₃, учитывая, что

Пример f₃’=2,7 кГц , тогда f₃=f₀ ² / f₃’=5,9 кГц.

Аналогично, находим и граничные частоты ПП f₂’ и f₂: f₂’=3,2кГц, f₂=4,8 кГц.

Ослабление в ПЗ A_min найдем из соотношения:

A_min=20 lg (10*U₍₁₎ / U₍₃₎) = 20 lg (10*6/2)= 20 lg 30 =15 дБ

Итак, тех. требования к ПФ:

f₀=4 кГц; f₂’=3,2 кГц; f₂=4,8 кГц; f₃’=2,7 кГц; f₃=5,9 кГц; ∆A=2дБ; A_min=15дБ;

1. Переход к ФНИП:

По формулам (2.5),(2.6),(2.7) в [7] находим :

Ω_p2=1; Ω_p3=2; a=0,4; т.о. прототипом заданного ПФ может служить фильтр, заданный в примерах 1 и 2.

2. Для уменьшения порядка n выберем порядком - можно по Чебышеву (Пример 2). Т(р)= 2*1,3089 / ((P-P₁)*(P-P₂)) ,

где P₁= -0,9256+j 1,164 и P₂=P₁^*= -0,9256-j1,164;

3. Произведем замену P→1/a (P+1/P)=P/a+1/a_p, где a=f₂-f₂’ / f₀.

Т(р)= 2* 1,3089/ ((P/a)+(1/a_p)-P₁)* ((P/a)+(1/a_p) -P₂)=

2*1,3089*a²*p² / ((p²- a*p₁*p+1)*(p²-a*p₂*p+1)=

2*1,3089*a²*p² / ((p-p_a)*(p-p_b)*(p-p_c)*(p-p_d) , где

p_a и p_b – корни уравнения p²-a_p*p₁+1,

p_c и p_d - корни уравнения p²-a_p*p₂+1,

Ниже подробно показано нахождение корней p_a и p_b:

Вставка 1: Для облегчения нахождения корней знаменатели Т(р) полосового фильтра рекомендуется преобразование частоты применять для сомножителей

первого порядка.

P²-0,4*(-0,9256+j1,164)*p+1=0

P²+(0,37024-j0,4656)*p+1=0

P_a,b=-(0,37024-j0,4656)/2⁺- ((0,37024-j0,4656)/2)²-1=

=-0,18512+j0.2328⁺- 8,8415*10^-2*e^j130-1 =

=-0,18512+j0,2328⁺- -1,99*10^-2-j8,6198*10^-2-1 =

=-0,18512+j0,2328⁺- -1,0199-j8,6198*10^-2 =

=-0,18512+j0,2328⁺-j 1,0199+j8,6198*10^-2 =

=-0,18512+j0,2328⁺-j 1,0117*e^j2,41 =

=-0,18512+j0,2328⁺-j(1,01+j4,2542*10^-2);

P_a=-0,18512+j0,2328+j1,01-4,2542*10^-2=-0,22766+j1,2428

P_b=-0,18512+j0,2328-j1,01+4,2542*10^-2=-0,14261-j0,7772

Проверка по теореме Виета:

P_a+P_b =-(0,37027-j0,4656)

P_a*P_b =0,22766*0,14261+1,2428*0,7772=1

Аналогично, решаем второе уравнение т.к. P₂=P₁*, то получаем

P_c=P_b*=-0,14261+j0,7772

P_d=P_a*=-0,22766-j1,2428

Теперь Т(р)=2*1,3089*a²*p²/ ((p- p_a)*(p- p_a*)*(p- p_b)*(p- p_b*))=

= 2*1,3089*0,4²* p²/(( p²+0,4554p+1,5964)*( p²+0,2853p+0,6244))=

= 0,4138* p²/((0,6244* p²+0,2853p+1)*(1,5964* p²+0,4554p+1))

Т(р)=Т₁(р)*Т₂(р)